162 



har ført denne Opgave tilbage til den samme Fjigning eller Proportion (7), hvortil han kom 

 i Skriftet om Kuglen og Cylinderen, dog med den Almindeliggjørelse, at den givne Størrelse 

 TZ nu kan være vilkaarlig, saaledes at Diorismen nu ikke mere er overflødig. Anvendelsen 

 af Ellipsens Ligning kan muligvis endog have givet en simplere Reduktion til denne Pro- 

 portion end den, vi fandt i Skriftet om Kuglen og Cylinderen. 



Hvad endelig de stumpvinklede Konoider, o: de hyperbolske Omdrejningshyper- 

 boloider, angaar, saa bestemmer Archimedes Volumen af disses Segmenter saaledes, at 

 Opgavens Fordring for ham nøje falder sammen med Ligningen 



hvor da ia er Længden af den Diameter i Hyperboloiden, som gaar igjennem Centrum i 

 det begrænsende plane Snit, x det Stykke, som paa denne Diameter afskjæres mellem Fladen 

 og Planen, y Afstanden fra Snittets Centrum til et af de Punkter af Snitkurven, som tillige 

 ligge i en fast Plan gjennem Diameteren, og F et som et retvinklet Parallelepipedum 

 fremstillet Volumen. Ifølge Ligningen for det i Diametralplanen liggende hyperbolske Snit, 

 staar y'^ i et konstant Forhold til a;(2a + «), saa den opstillede Ligning bliver til 



x"" [la-\-x] = 6^ c , 

 hvor 5^0 er et nyt bekjendt retvinklet Parallelepipedum, bragt paa en for Løsningen bekvem 

 Form, eller til Proportionen — -j ^ ^^I — ^ (jgr falder sammen med den ved den tidli- 

 gere jOpgave opstillede Proportion (7), naar man lader x = DX bestemme et Punkt af 

 Forlængelsen af den givne Linie Z>>? = 3a ud over D. Opgaven falder altsaa ifølge 

 Archirqedes' egen Volumenbestemmelse sammen med en af de Former for den kubiske 

 Ligning uden Led af første Grad, som der ikke var Brug for ved Opgaverne med Hensyn 

 til Kuglesegmentet. I dette Tilfælde tør man saaledes ogsaa antage, at Archimedes har 

 løst Ligningen, og der er da ingen som helst Grund til at tro, at denne skulde have frem- 

 budt nogen Vanskelighed for ham i det Tilfælde, som endnu staar tilbage, hvor det søgte 

 Punkt X skal ligge paa Forlængelsen ud over Z^ eller hvor Ligningen har Formen 

 x'^ — a«2 — })i c = 0. Hvilken Archimedes' Løsning af en saadan Ligning end har været, 

 se vi altsaa ogsaa af hans egne Skrifter alene, at han har løst den i al Almindelighed (dog 

 saaledes at Bestemmelsen af en og samme Lignings positive og negative Rødder for ham 

 ere forskjellige Opgaver). Vi have derfor ikke tillagt ham for meget ved at antage at 

 den af Eutokios fundne Løsning var den, han benyttede. løvrigt bliver den Omstændighed, 

 at den netop yder, hvad vi fra Archimedes selv vide, at han formaaede, endnu en Grund 

 for, at han netop har brugt den. 



Hermed er dog ikke afgjort, at Løsningen af saadanne kubiske Ligninger først er 

 funden af Archimedes. Tvertimod viser Behandlingens Fuldstændighed og den Omstæn- 



