182 



ning der i A i mindelighed be ii o ves Keglesnit, kunne løses ved Lineal og 

 Passer. Da nu Studiet af den almindelige Løsning ved Keglesnit giver det bedste Middel 

 til at opdage saadanne Tilfælde, er det temmelig rimeligt, at man virkelig er gaaet 

 denne Vej. 



Den nødvendige og tilstrækkelige Betingelse for, at to Keglesnits Skjærings- 

 punkter. uden saadanne indbyrdes Forskjelle. som vilde gjøre den dem bestemmende 

 Ligning reduktibel, kunne bestemmes ved Lineal og Passer, er, at den Ligning, som 

 bestemmer de tre Punkter, der have de samme Polarer med Hensyn til begge Keglesnit, 

 er reduktibel. eller at et af disse tre Punkter kan bestemmes uafhængig af de to andre. 

 At denne Betingelse er nødvendig, kunne Grækerne næppe have havt nogen bestemt Fore- 

 stilling om, end sige kunnet bevise. iXaar derimod et saadant Tilfælde har foreligget, har 

 Muligheden af en Bestemmelse ved Lineal og Passer, eller ved sukcessiv geometrisk 

 Løsning af to Ligninger af anden Grad, ikke kunnet undgaa deres Opmærksomhed. Særlig 

 iøjnefaldende maa delte have været dem i de — for vor Betragtning herunder hørende — 

 Tilfælde, hvor enten Keglesnittene have samme Centrum, eller Centrenes Forbindelseslinie 

 halverer parallele Korder i de to Keglesnit. At man har været agtpaagivende overfor saa- 

 danne .Midler til at slutte, at en Opgave, som først synes solid, i Virkeligheden er plan, 

 tør vi sikkert slutte af Pappos' strenge Udtalelser mod at løse plane Opgaver ved Keglesnit. 

 Det sidste af de anførte Tilfælde, i hvilke Reduktionen til Brug af Lineal og Passer 

 er mulig, indtræder aabenbart ved den nys udførte Indskydning mellem to rette Linier, 

 naar det faste Punkt B iFig. 48) ligger paa en af Halveringslinierne af Vinklerne mellem 

 disse Linier, idet da Parallelogrammet AIBC bliver en Rhombe, og altsaa ogsaa Centret 

 C i den ved Konstruktionen benyttede Cirkel kommer til at ligge paa Halveringslinien af 

 en Vinkel mellem Hyperblens Asymptoter. Det er dog kun i et enkelt, herunder hørende 

 Tilfælde, at vi have positive Oplysninger om, at Grækerne have udført Indskydningen ved 

 Lineal og Passer, nemlig naar tillige de givne rette Linier danne rette Vinkler, og AIBC 

 altsaa bliver et Kvadrat. 



For paa en simpel Maade at komme til den dertil tjenende Konstruktion, som 

 Pappos tillægger Herakleitos, kunne vi (Fig. 49, hvor Bogstaverne bestandig have samme 



Betydning som paa Fig. 4.5 og 48i gjøre Brug af de samme 

 Hjælpelinier, som førte til Konstruktionen ved Keglesnit, og 

 forlænge EF og BC. til de skjære hinanden i K. Den ret- 

 vinklede Trekant CFK paa den indskudte Længde CF = /; 

 som Hypotenuse er ligedannet med A BDC og , naar 

 CG -i-BD, med A BCG paa Hypotenusen BC = a. 

 Summen af Trekanterne CFK og BCG vil blive fremstillet som en Trekant af samme 

 Form, naar man oprejser EL^^BE og forlænger CF til Skjæring med denne Linie i J/. 



Fis. 49. 



