183 



Figuren viser nemlig da, al A ELK = A BD C og A EFM = A CDG. Ailsaa faas 

 ved Substraklion Firkant FMLK = A BCG. Det ses altsaa, at ACFK-\- A BCG = 

 ACLJJ, eller, idet disse ere ligedannede, at 



k"--{-a- = CL-'. 



Heraf beslenimes CL, hvorefter en Cirkel med Diameteren BL bestemmer L. 



Det er denne elegante og simple Relation mellem k, a og CL, som skyldes 

 Herakleltos, og som Pappos har villet opbevare. Den tilhører — i det mindste umid- 

 delbart — kun det Tilfælde, hvor de givne Linier danne rette Vinkler: men det er ingen- 

 lunde urimeligt, al den er fremkommen som Middel til yderligere at simpliGcere en Kon- 

 struktion, hvorom man forud vidste, at den kunde loses ved Passer og Lineal. Dette 

 sidste kan da være fundet paa den først antydede Maade, der indbefatter det almindelige 

 Tilfælde, hvor Vinklen mellem de givne Linier er vilkaarlig. Dette forekommer mig langt 

 rimeligere end, at Opdagelsen af denne plane Konstruktion skulde være tilfældig; thi naar 

 man kun behandler samme Opgave ved rent elementær-geometriske Hjælpemidler, er Op- 

 dagelsen af dens plane Beskaffenhed temmelig fjernt liggende. Pappos" Bevis er aabenbart 

 rent aposteriorisk og giver derfor ingen Oplysning om, hvorledes Herakleitos" Sætning først 

 er funden. 



Hvor stor en Overensstemmelse der er mellem den Brug, jeg her mener, at de 

 gamle maa have gjort af deres Løsninger ved Keglesnit, og den nyere Tids algebraiske 

 Behandling, fremgaar af, at Descartes i 3die Bog af sin Geometri netop i Herakleitos" 

 Sætning har el fortrinligt Exempel paa Anvendelsen af den algebraiske Oplosning 

 af Fjerdegradsligninger til at opdage de Tilfælde , hvor saadanne irreduktible Ligninger 

 kunne løses alene ved Kvadratrødder, og hvor altsaa de deraf afhængige Konstruktioner ere 

 plane. Dette viser sig at opnaas ved, at den kubiske Hjælpeligning bliver reduktibel. 

 I Modsætning hertil antager Descartes i Henhold til Pappos' synthetiske Bevis, at det er 

 rent tilfældigt, at de gamle ere stødte paa denne plane Konstruktion, og ere faldne paa at 

 behandle den ved at søge en tilsyneladende saa uvedkommende Størrelse som Længden 

 af CLj. Vor Sammenholden af Herakleitos' Relation med den almindelige Opgave, som 

 løses ved Keglesnit, viser derimod, at de gamle baade have besiddet direkte Midler til at 

 opdage, at Opgaver som Herakleitos' ere plane, og Taalmodighed til at reducere den plane 

 Konslruklion til en yderst simpel Form. 



Det Tilfælde, hvor den af A re h i medes benyttede (udskydning kan udføres ved Lineal 

 og Passer, nemlig det, hvor det faste Punkt — som i den Indskydning, der forekommer 

 hos Eudemos — er et af Endepunkterne af Diameteren vinkelret paa den givne rette Linie, 

 kunde ogsaa være fundet ved Betragtning af Opgavens Løsning ved Keglesnit. I det anffrie 

 Tilfælde faar den hrrlil tjenende Hyperlicl og Parabel nemlig samme Axe. At Opgaven i 



