186 



sted, nemlig i anden Bog, selv giver sig af med Konstruktioner, som knyttes til fuldt teg- 

 nede Keglesnit. Efterat han der har konstrueret deres Axer, kunne disses Beliggenhed og 

 deres saavel som Parametrenes Størrelser betragtes som bekjendte, naar et fuldt tegnet 

 Keglesnit forelægges. At ApoUonios benytter Axerne i sin Konstruktion i femte Bog, er 

 saaledes ingen Hindring for, at han selv eller senere L.æsere ogsaa i denne Bog kunne have 

 betragtet selve Keglesnltslinien som det opgivne. 



Idet Pappos' Kritik næppe lader sig tilfredstillende forklare paa nogen anden 

 Maade, faa vi at vide, at man paa Pappos' Tid kjendte en Konstruktion af Normalerne fra 

 et Punkt til en given Parabel ved Hjælp af selve denne Kurve samt Lineal og Passer. Denne 

 Konstruktion kan kun have bestaaet i en direkte Bestemmelse af den Cirkel, som gaar 

 gjennem de tre Normalfodpunkter. Disse bestemmes, som vi nys saa, i et Koordinatsystem 

 med Parablens Axe til Abscisseaxe og Toppunktstangenten til Ordinataxe, ved Ligning (I) og 



Parablens Ligning 



y"^ = px. 



Ved at multiplicere den sidste Ligning med æ og indføre Udtrykket for æy fra den første 

 faas 



som kombineret med Parablens Ligning giver Ligningen 



+ ^/— (*i + f)'^'-^i/- O,. 



der fremstiller en Cirkel, som skjærer Parablen i Toppunktet og de søgte Normalfodpunkter. 



Ganske saaledes have de gamle næppe opereret, idet de da vilde have behøvet en 



stereometrisk Fremstilling af det Gjennemgangsled, som vi have udtrykt ved en Ligning 



af tredie Grad i {(onstanter og variable; men dette vilde undgaas ved i Stedet for med x 



at multiplicere Parablens Ligning med — . Gjør man dette, lade alle de foretagne Opera- 

 tioner sig let fremstille i de gamiles geometriske Form. Naar ApoUonios selv ikke har 

 foretaget denne Simplifikation af Konstruktionen, kan det muligvis bero paa, at han for sit 

 Vedkommende ikke har tænkt sig det givne Keglesnit forelagt saaledes, at Løsningen bliver 

 plan, naar blot Hjælpekurven er en Cirkel. Er han ikke gaaet ud fra saadanne Forudsæt- 

 ninger, har han næppe engang sat videre Pris paa at opnaa dette sidste. Dette sliitter 

 jeg deraf, at der ikke i nogen af de tidligere betragtede solide Opgaver, naar ikke noget 

 af de oprindelig benyttede to Keglesnit var en Cirkel, har vist sig nogen Bestræbelse efter at 

 opnaa denne Simplifikation, hvilket dog flere Steder havde været let nok. Naar dog den 

 ene af de to Kurver maatte være et — ikke forud fuldstændig tegnet — Keglesnit, var der 

 heller ikke nogen væsentlig Fordel, ved, at den anden blev en Cirkel; thi i dette Tilfælde 



