188 



melse for sig, som tilmed er delt i to Tilfælde, eftersom O ligger indenfor eller udenfor 

 Parablen [57 og 62], men som ikke giver Anledning til nogen Diorisme. 



Det geometriske Sted for Punkterne O' er Parablens Evolut. uden udtrykkelig at 

 tale om noget saadant Sted, giver Apollonios saaledes en Konstruktion af de Punkter af 

 denne, som svare til en given Abscisse, og det vilde ikke være vanskeligt af denne Kon- 

 struktion at udlede Udtryk for Ordinaterne, allsaa Evolutens Ligning. Af Konstruktionen 



følger, at den træffer Axen i det Punkt, hvis Afstand fra Toppunktet er 



P 



Dette er for 



øvrigt hos Apollonios allerede tidligere udtrykt i Bestemmelsen af Normaler fra Punkter af 

 Axen [4 og 6]. 



Med en lignende Fuldstændighed behandles Opgaven for Ellipsens og Hyperblens 

 Vedkommende. Idet man selvfølgelig ved flittig Figurbetragtning kan sikre sig mod at 

 glemme noget Tilfælde, er den eneste Vanskelighed, hvis Løsning kan have nogen virkelig 

 Interesse, Bestemmelsen af de til en given Abscisse svarende Ordinater til Evoluten, eller 

 til Punkter hvorfra der udgaa to sammenfaldende Normaler. Disse Ordinater karakteriseres 

 som Grænseværdier mellem Ordinater til Punkter, hvorfra der ved en enkelt af Hjælpe- 

 hyperblens Grene kan bestemmes 2 og O Normaler, eller i det hele taget kan trækkes 4 

 eller 2 Normaler. 



Medens Apollonios under ét behandler Ellipsen og en Hyperbelgren, hvilke Til- 

 fælde heller ikke frembyde væsentlige Forskjelligheder, skulle vi for Nemheds Skyld holde 

 os til Ellipsen. I Formel (2) have vi set, at Fodpunkterne af Normalerne fra et Punkt O 



ligge (Fig. 52) paa en fuldstændig Hyperbel, som gaar gjen- 

 nem O og Kurvens Centrum C, og hvis Asymptoter have 

 Ligningerne 



!/ 



-3/1 



Fie. 32. 



a-- b'' '"' ' ■^ a'- — b^ 



hvor a og i ere Axerne , æ-j og i/^ Koordinaterne til O. 

 I Diorismen bliver der nu kun Tale om den Hyperbel- 

 gren, som ikke gaar gjennem C og O. Der er fremdeles kun 

 givet Abscissen ,v^, som atter bestemmer den ene Asymptote 

 El. Den anden og det for Ellipsen og Hyperbelgrenen fælles Punkt j\J skal bestemmes 

 saaledes, at Ordinaten y^ faar den størst mulige numeriske Værdi. Dette Maximum vil 

 indtræde, naar Hyperbelgrenen i M berører Ellipsen, eller naar M er Midtpunktet af det 

 Stykke IK, som Asymptoterne afskjære paa Ellipsens Tangent i dette Punkt. 



Idet vi da tænke os Opgaven løst, og ved G betegne de to Asymptoters Skjæ- 

 ringspunkt, ved A' og P Punktet M's Projektioner paa Ellipsens Axe og paa Asymptoten 

 KG, er 



