190 



2 Opløsninger (af dum, som i Øjeblikket søges), og da kun benytter den til selve Konstrnk- 

 lionen af disse. Saa vist som Mulighedsbetingelserne maa være fundne ved den samme 

 Analysis, som har givet Konstruktionen, maa dog den til denne tjenende Hyperbelgren ved 

 Undersøgelsen af Muligheden lige saa fuldt have været til ApoUonios' Raadighed som lil 

 vor^). Bagefter har det imidlertid ikke været svært at undgaa at nævne Hyperblen, men 

 kun at tale om de dertil hørende lige store Rektangler i det synthetisk opstillede Bevis for 

 Mulighedsbetingelserne. 



Herved er gjort Rede for Kjernen i ApoUonios' femte Bog. Til Forstaaelse af 

 Bogens Vidtløftighed maa imidlertid ogsaa omtales den Form, hvorunder Normalproblemet 

 optræder. De søgte Linier ere ikke bestemte som vinkelrette paa Tangenter i disses Rørings- 

 punkter, men som de mindst mulige eller de størst mulige Linier, som man 

 fra et givet Punkt kan trække til et Keglesnit. 



Ligger det givne Punkt paa en Axe, hvor det kan antages at have Abscissen Æi, 

 medens det tilsvarende Normalfodpunkt har Koordinaterne x og i/, er det y--{- f« — «^'i)^, som 

 skal være et Minimum, og idet y'^ bestemmes ved et Udtryk af anden Grad i .t-, er Minimums- 

 bestemmelsen ført tilbage til den Maxiniumsbestemmelse, som findes i Euklids Diorisme 

 til Ligninger af anden Grad i 6te Bog. Tanken paa denne Diorisme, som ApoUonios mere 

 direkte benytter andetsteds, f. Ex. ved Tangentbestemmelsen i første Bog, turde ogsaa her 

 ligge bag ved hans Bestemmelse; men saa har han bagefter omdannet den til et af Maxi- 

 mumssætningen ved Fladeanlæg uafhængigt synthetisk Bevis, hvis Tankegang skal meddeles 

 for at holde i stadigt Minde hos Læserne, at det, som vi gjengive ved Produkter af Linier, 

 er Arealer, hvis virkelige Anbringelse paa Figuren giver de beviste Sætninger en umiddelbar 

 Anskuelighed, saa snart man først har tilegnet sig denne Figur. 



Vi kunne for at nøjes med én Figur (Fig. 53) 

 holde os til Ellipsen [lOj. I Begyndelsen af femte 

 Bog [1 — 3] har ApoUonios givet dennes Centrallig- 

 ning følgende grafiske Fremstilling: I et Endepunkt 

 C af en Axe oprejses CN vinkelret og afsættes 



^ -^ , og Linien fra N til Centrum D drages ; Kva- 

 dratet paa en vilkaarlig Ordinat ZB bliver da det 

 dobbelte af det Trapez CZSN, som den afskjærer. 

 Denne grafiske Fremstilling, som kan opfattes som specielt indbefattet i den, hvoraf der 



Fig. 53. 



') Denne. Opfattelse, at i Analysen af en Opgave Dioiismen faist findes, efte rat man har fundet Oplos- 

 ningsniaaden, og saaledes bliver Resultatet af, hvad man nu kalder en Diskussion af den fundne 

 Opløsning, finder Hekra'ftelse f. R:,\. i Archimedes' Analyse i Sælning VII af 2den liog om Kuglen 

 og Cylinderen (Heibergs Udgave, I, S. 232). 



