191 



gjøres saa viglige Anvendelser ved Koordinalændringcrne i forste (îog (S. (M, Mgn. (2)), udledes 

 her direl<te af den grafiske rremsliiiing aP Toppiinklsligiiingcn, ideL Trapezet CZSN bliver 

 halvt saa stort som licktanglet med Siderne CZ og den til Z horende Ordinat til den med 

 DN parallele Linie gjennem Toppunktet A. Afsætler man nu ZE = ZS, altsaa ifølge 



Figuren = £-.ZD, bliver ZE' = 2 AZES os altsaa 



Em ^ 2 Firkant CE SN. 



Drager man derimod en anden f^inie ET fra E til Kurven, bliver 

 ET^ = 2 [Trapez CKUN + Jrek.KEV] = 2 Firk. CESN+ Trek. /75F, 

 altsaa " EH''<ET\ 



Havde man paa Figuren ladet E falde paa den modsatte Side af 7] vilde den over- 

 skydende 'l'rekant USV blot afskjæres indenfor Vinklen ESD. Det er saaledes godtgjort, 

 at E H^ og altsaa EH er et Minimum. Apollonius lader sig dog ikke nøje hermed, men 

 giver tillige et Udtryk for Arealet af ET^'s Overskud USV. 



At den fundne Älinimumslinie EH staar vinkelret paa Tangenten i IJ, vises paa 

 dobbelt Maade, nemlig dels ved at benytte den i første Uog fundne Tangentbestemmelse 

 [18], dels ved umiddelbar Anvendelse af Minimumsegenskaberne [19]. Ved Hjælp af denne 

 sidste Sætning kunde Tangentbestemmelsen fra først af være udledet af den nys udviklede 

 Normalbestemmelse. Del er ret paafaldende, hvor nær den da i sil Hovedprincip falder 

 sammen med den Tangentmethode, som bruges af Descartes, der ikke kjendte noget 

 til Apollonios' 5te Bog. Denne, som ikke haves paa græsk, blev nemlig først senere oversal 

 fra arabisk. 



Omvendt kunde man ogsaa, eflerat have bestemt Tangenten som i første Bog, der- 

 til have knytlet Bestemmelsen af Subnormalen og bagefter paa en med Sætning 19 stem- 

 mende Maade have bevist Minimumsegenskaben, altsaa have undværet Apollonios' nys 

 anførte direkte Bevis for denne. Saaledes bærer man sig ikke blot i Reglen ad nu; men 

 en Bestemmelse ad denne Vej af Subnormalen synes efter en Udtalelse i den særlige For- 

 tale til femte Bog M at være udført forud af Apollonios' Forgængere og samtidige. Andet 

 af ole Bogs Indhold end netop denne Bestemmelse kan Apollonios nemlig ikke godt lænke 

 paa, naar han antyder, at han kunde have medtaget det forud kjendte allerede i første Bog. 



I del følgende af femte Bog bliver en Linie som Eli (Fig. 53) ikke betragtet som 

 karakteriseret ved sin Stilling mod Tangenten, men ved Minimumsegenskaben. Naar da den 

 fundne Bestemmelse af Subnormalen ZE, som vi have set, lægges til Grund for Bestem- 

 melsen af Normaler fra andre Punkter O, er den opgivne Egenskab ved de sogle Linier 

 den, at der mellem Kurven og forste Axe skal afskjæres et Slykke, som er ol 



') Se Tillæg 1. 



