192 



Minimum af Afstande fra Skjæringspiinktet med Axen li! Kurven. Ferst bag- 

 efter vises det, at den ogsaa er et Minimum eller .Maximum af Afstande fra det givne Punkt 



O til Kurven. 



Dette sidste i Forbindelse med den dertil knyttede Afgjarelse af, naar man faar 

 Maximum, og naar man faar Minimum, har let kunnet findes ved omhyggelig Figurbetragt- 

 ning. Ved en saadan har det været iøjnefaldende, at de eneste Overgange fra Voxen til 

 Aftagen af Radii vectores fra O til Keglesnittet have fundet Sted i Normalerne fra O, og 

 at omvendt saadanne Overgange finde Sted i enhver Normal fra Ü. naar O ikke er et 

 Punkt fra Evoluten. Det eneste, som har \oldt Besvær, har været at omdanne disse 

 Betragtninger til saadanne, som kunde tilfredsstille de græske Fordringer iil et strengt Bevis. 

 Hvad det herved kommer an paa, er kun at vise, at, naar de Stykker af Normalerne 

 i alle Punkter af en Bue 3/A' af ' et Keglesnit, der ligge paa samme Side af Buen som 

 Punktet O, falde paa samme Side af Radii vectores, fra O som Punktet J\" iFig. 04', bliver 



OiY>' OM. Til hvilke Sider af Radii vectores Normalerne 

 falde, lader sig nemlig overalt let afgjøre ved de samme Under- 

 søgelser, som have ført til Normalkonstruktionen og dennes 

 Diskussion. 



At 0J\"> 0-17, bevises derved, at hvis OS var ^ 0-1/, 

 vilde Cirklen om Centret O og gjennera i\' nødvendigvis skjære 

 Buen M N. Da nemlig OS danner en spids Vinkel med Kur- 

 vens Tangent XP i -V, maa et Stykke af denne Linie falde 

 indenfor Cirklen, som saaledes paa sin Vej fra -V hen til OM 

 begynder med at falde udenfor Kurven. Den vilde derimod 

 ende sin Vej hen til OM med at falde indenfor den paa OM 

 vinkelrette Linie MR. som ifølge Forudsætningerne selv falder 

 indenfor Buen .17 -.\. Var nu Q denne Cirkels Skjæringspunkt med Buen og QS Buens 

 Tangent i Q. vilde ifølge de opgivne Forudsætninger aOQS \ære spids, altsaa et Stykke 

 af QS falde indenfor Cirklen; men dette strider imod. at denne i Punktet Q skulde komme 

 indenfor Buen QM. Antagelsen ON^OM er altsaa absurd. 



.Man ser imidlertid at Apollonios selv ikke er videre fornøjet med delte Anskuelses- 

 bevis M, som dog sikkert netop udtrykker den Tankegang, som har ført ham Iil Resultatet, 

 og som har den Fordel at være anvendeligt paa Buer MX af alle mulige Kurver. Han 

 anvender det nemlig kun i de Tilfælde, hvor Kurvens Hovedaxe falder som den punkterede 



') For at gjøre det raldkommen exakt skulde det ogsaa være frembævet, at Q, hvis muligvis Cirklen 

 skar Buen NJJ i flere Punkter, skal være det sidste Punkt, hvor Cirkelbuen regnet fra N hentil 

 OM skjærcr A'M. Denne Mangel kunde muligvis hidrorc fra de arabiske l'dgivcre, gjcnnom hvem 

 vi have Apollonios' 5 — 7dc Bog. 



