I 



195 



Ilden Ijvilken lîestemmelsen at' Stedet lil lire l.iaier oy uf mange andre solide Steder var 

 haltende, med ind i Lærebygningen. 



En saadan Lærebygniug niaa karakteriseres ved en vis Korthed, som er bleven 

 mulig \ed Forgængeres Arbejder. Naar vi se bort fra den Vidtløftighed, som Apollonios 

 mener at burde anvende paa den sidstnævnte nye Forbedring, er ogsaa virkelig i de fire 

 første Doger Fremstillingen kort i Forhold til de mange og forskjelligartede Resultater, 

 som føres frem. Dette gjælder ikke mindst de Afsnit af 3die Bog, som vi endnu ikke 

 have gjort nærmere Rede for. I lledcgjorelsen for en Specialundersøgelse gjaldt det der- 

 imod for de gamle om at fremsætte det nye, som fremføres, med en vis Fyldighed, om 

 først at berede Grundlaget for dette, saaledes at Læseren er vis paa, at Ræsonnementet 

 ingen Huller har, dernæst at gaa saaledes i det enkelte, at Læseren kan se, at intet Tilfælde 

 glemmes, og endelig at uduytte de vundne Resultater og gjøre dem anvendelige for videre 

 L'ndersogelser. Saaledes bar Apollonios sig ad i femte Bog, hvis Hovedindhold vi kunne 

 lære at kjende alene af Sætning 51 for Parablens og 52 for Ellipsens og Hyperblens Ved- 

 kommende, men som dog med sine 77 Sætninger i Udstrækning er voxet op til den omfangs- 

 rigeste af alle Apollonios' Bøger om Keglesnittene. 



Forskjellen mellem de flre første Boger og de sidste er altsaa, at de første danne 

 et Kompendium over Keglesnitslæren, de sidste en Række udførligere .Monografier. 

 En Skjælnen mellem mere eller mindre clementære Dele i en moderne Betydning af Beteg- 

 nelsen elementær, maatte, hvis man ønsker en saadan, snarere indføres inden for selve 

 Lærebygningen. En saadan Skjælnen have vi ogsaa i vor Fremstilling gjort gjældende, 

 idet vi have fremhævet, at medens i første og anden Bog Keglesnittenes Punkter og Tan- 

 genter kun betragtes i deres Forbindelser med Diametre og Asymptoter, ses de i tredie og 

 fjerde Bog i Forbindelse med vilkaarlig beliggende Punkter og rette Linier elier med 

 vilkaarlig beliggende andre Keglesnit. Fra delte Synspunkt betragtet ere ogsaa 6te og "de 

 Bog elementære. 



Ogsaa i femte Bog benyttes, som vi have set, kun de elementære Hjælpemidler, 

 som ere udviklede i første og anden Bog, undtagen for saa vidt det i Ijerde Bog fundne 

 Resultat, uden direkte at benyttes, har kunnet give Overblik over de forskjelligartede Løs- 

 ninger, som kunne fremkomme. De Anvendelser, som Apollonios vil have gjort af de 

 fundne Resultater, naar han i Slutningen af Bogens særlige Fortale') siger, at de ere sær- 

 deles nødvendige til Problemers Inddelinger og Diorismer, raaa derimod vist- 

 nok strække sig videre. 



Et Exempel paa en solid Opgave, hvis Diorisme kan findes ved Hjælp af Normal- 

 konstruktionen, have vi allerede truffet i forrige Afsnit, nemlig Indskydningen mellem to 



') Se Tillæg I. 



