206 



at gjælte paa Undersøgelser, der ligge helt indenfor dette og helt igjennem umiddelbart 

 støtte sig paa Sætninger, som man den Gang kjendte, vil træffe Spørgsmaal, som ogsaa 

 den Gang vare oppe. Vildledende vil en saadan Gjætning i hvert Fald ikke blive, naar 

 man holder sig til saadanne Opgaver, af hvilke man, om de end muligvis aldrig virkelig 

 ere stillede, dog saa at sige kunde vente en Løsning af den græske Mathematiker, hvem 

 man stillede dem, idet de løses ad Veje, der helt og holdent stode til de gamles Raadighed. 

 Saadanne Gjætninger ville tvertimod give en klarere Forestilling om disse Vejes Brugbarhed, 

 som det nok turde have sin Betydning at udbrede, naar en iMand med de største Fortjenester 

 af den græske Mathematiks Literaturhistorie kan tillægge de fire første Bøger af ApoUonios' 

 Keglesnitslære det yderst beskedne og med deres Indhold saa lidet stemmende Formaal, 

 at de af den daværende højere Mathematik skulde bringe netop det, som behøvedes for at 

 naa indtil Løsningen af den deliske Opgave, denne medindbefattel'). 



Idet jeg desuden maa sørge for, at der hverken lægges for meget eller for lidt i 

 mine Paastande om de videregaaende Undersøgelser, som skulle være udførte inden for 

 det betegnede Omraade, er det mig om at gjøre, hvor jeg kan, at give Exempler paa den 

 Beskaffenhed, som jeg tænker mig, at disse kuiiiie have havt. Dette har jeg gjort i Slut- 

 ningen af forrige Afsnit, og ved Slutningen af det næste skal jeg give en mere omfattende 

 Anvisning. I Øjeblikket skal jeg stræbe at opnaa noget lignende ved et Forsøg paa at 

 angive, hvad Indholdet kan have været af Eratosthenes' tabte Skrift om Mellem- 

 størrelser. 



De Oplysninger, som foreligge herom, ere vel saa faa og tildels efter Textkritikernes 

 Mening saa lidet paalidelige, at jeg, om jeg end slutter mig saa nær til dem som muligt, 

 maaske næppe har stor Udsigt til at træffe det rette; men jeg tror i hvert Fald, at de geo- 

 metriske Stedbestemmelser, jeg foretager, og den Opgave, som jeg løser, og som 

 vel tilsidst viser sig at være plan, men behandles som en forelagt solid Opgave, helt og 

 holdent falde ind under, hvad de gamle kunde magte og vilde behandle paa lignende 

 Maade. 



Først skal jeg berøre en Antagelse af i'. Tannery-), som gaar ud paa, at Erato- 

 sthenes' Steder til iMellemstørrelser skulde være de Kurver, som i et trilineært Koordinat- 

 system fremstilles ved Relationer mellem to vilkaarlige Størrelser og en af deres Mellem- 

 størrelser, altsaa ved Ligningerne: 



2î/ = « + s, ij'^==æz, «/(A--Us) = 2æ's, 



hvor y er den arithmetiske, geometriske eller harmoniske Mellemstørrelse mellem x og z, 

 og ved 



Cantor. Geschichte, S. 294. 

 Académie de Bordeaux, 2™" série, t. 111. 



