209 



næppe helt iikjondt tor de gamle; men Eratosthenes har dog vistnok foretaget Undersøgelsen 

 plangeometrisk for at laa Parablen og Hyperblen med; ved Hyperblen maa dog, da Erato- 

 sthenes levede før Apollonios, knn tænkes paa en saadan Hyperbelgren, som kan skjæres 

 i to Fnnkter af Linier gjennem C. 



At det geometriske Sted for Midtpunktet A bliver et Keglesnit, ligedannet og lige- 

 dan beliggende med det givne, og med diametralt modsatte Punkter i C og det givne 

 Keglesnits Centrum O, naar Kurven er en Ellipse eller Hyperbel, er let fremgaaet af den 

 Omstændighed, at CA og OA blive parallele med konjugerede Diametre eller med Supple- 

 mentkorder i det givne Keglesnit. Maaske kan Beviset have antaget en Form, der staar 

 den analytisk geometriske nærmere, idet man direkte har søgt Udtryk for Kvadratet paa 

 den til Diameteren CO svarende Ordinat til A. Ad en saadan Vej kan man da ogsaa 

 have behandlet det Tilfælde, hvor den givne Kurve er en Parabel. 



Stedet for det geometriske Middelpunkt G kan dernæst være fundet ved Benyttelse 

 af det fundne Sted for A, idet Mellemproportionalen CG mellem CX og CX' tillige er 

 Mellemproportional mellem CA og CH. Lad os nu i et Koordinatsystem, hvor CO er 

 Abscisseaxe og Tangenten i C til Stedet for A er Ordinataxe, kalde Koordinaterne til A 

 Æ'i og y, og til G X og y. Man har da først Ligningen for det fundne Sted for A 



y^ = x^ (;j + a«i) 



Og dernæst — = — i 



og «2 = a:æ'i, 



hvor k er Abscissen til 6"s Polar. Af de to første af disse Ligninger udledes først 





X 



7 



_ .«1 



yi "yi 





P + «*'i P^ -\-akXi 



men de lo sidste give 







k X ij 

 « ~" «1 ^ i/l ' 



altsaa 







^i/i = «:y- 



Ved Indsættelse faas 







X xy 



y pk + ax'^ 



eller 







y^ = pfc+ ax^, 



som fremstiller et nyt Keglesnit, ligedannet med og ligedan beliggende med de to forste, 

 men med Centrum i C (to parallele rette Linier, hvis den givne Kurve er en Parabel). 



Idet « blot er et konstant Forhold, forekommer der intetsteds i denne Udledelse, 

 som vi her have skrevet den, udtryk af højere end anden Grad. Ganske del samme Bevis 

 kan altsaa være ført i Grækernes geometrisk-algebraiske Form. At vi i et Bevis, som 

 Eratosthenes skulde have fort, have benyttet Apollonios' Ligningsform, er uvæsentligt, ila 



Vidonsk. Selsli. Sitr., C. Række, naturviilcnsk. og m.athom. Afil. HI. 1. 27 



