213 



Kalde vi Punktet A's Koordinater henførte til et retvinklet Koordinatsystuni med 

 C til IJegyndc!sespiinl<t og med Tangenten i C til Ordinataxe x og y, belegne vi endvidere 

 ved u den bekjendte Abscisse til //, og sætte vi CA == r, faas 



AC^ __ r^ _ X 

 AC. AH ~~ U ~ IT^' ' ■ 



Flenføres nu Keglesnittet (.1) som Sted til tre Linier til Abscisseaxen CY og Tangenterne 

 CU og YU i dens Skjæringspunkter med Keglesnittet, bliver det bestemt ved 



if- = ),xæ\ (21 



livor x' er Äs Afstand AQ fra Tangenten UY, regnet parallelt med Abscisseaxen, medens 

 X er et paa sædvanlig Maade givet Forhold. Indføres nu 



,.2 = æ;--|-^2 ^ x[x^ XW) 



i (1), faar man, at Hyperblen 



(æ — c)(x^ kæ'] = Z2 (3) 



maa gaa igjennem det søgte Punkt A. Dennes ene Asymptote x — c = O er given (Linien 



KH paa Figuren), den anden x -\- Xx' = O, som gaar gjennem Polen t/ til CF, lader sig 



let konstruere (Linien KÜ], og det konstante Rektangels Areal V^ er givet. 



Hyperblen er altsaa bestemt. Ved udførelsen af denne Bestemmelse har det næppe 



undgaaet de græske Mathematikeres omhyggelige Undersøgelse, at de to Asymptoter 



danne lige store Vinkler med enhver af Axerne i det givne Keglesnit (2). Dette har man 



kunnet bevise ved Betragtning af Skjæringspunkterne mellem Keglesnittet og en Parallel med 



Linien æ -{- Xx' = O, der aabenbart ikke selv skjærer Keglesnittet. Af dettes Ligning (2) 



og Parallelens Ligning 



A'-f" Xx' = k 



har man kunnet udlede, at Cirklen 



Î/2 = hæ — Æ''-^, 



som i C berører Ordinataxen , gaar gjennem de to Skjæringspunkter. Heraf følger atter, 

 at Ordinataxens Skjæringspunkt med den omtalte Parallel faar samme Potens i disse to 

 Liniers Retninger med Hensyn til Keglesnittet. Ifølge Potenssætningen maa da det samme 

 finde Sted for ethvert Punkt i Planen, og de to Retninger maa da danne lige store Vinkler 

 med Axerne. 



Til en anden Konstruktion af Skjæringspunkterne mellem Keglesnittet (2) og 

 Hyperblen (3) kommer man ved Addition af deres Ligninger. Man faar da 



,.2 == i2j^c(x + Xx'), (4) 



der falder sammen med den analytisk geometriske Bestemmelse af en Cirkel, som vi af 

 Apollonios' plane Steder have set, at de gamle kjendte. 



