215 



Idet vi ved æ'i, y, og x^, y., belegne Koordinaterne til 5 og T, faa vi saaledes følgende 

 Række Proportioner: 



_I_P£ _ y _ Vi _ Vi _ .^1+3/2 



— ay x' — X x' — « + «3/1 *' — d — «2/2 2æ' — e — d — aiy^, — «/il 



_ Vi— Vi 



e — d — aiy^ + y^] 



Da nu ^i + î/a = 2 2/, giver Ligestorheden af andet og næstsidste Forhold, at 



Vi — Vi = —{2x — e—d), 



som indsat i sidste Forhold, ved at sætte dette lig det første, giver 



e-\-d 

 . px 1x — e — d 2 



ay a[e — d — -lay) ^/e. — d 



^'(^-) 



Denne Ligning viser, at Punktet M eller {x, y) maa ligge paa en ligesidet Hyperbel, hvis 

 Asymptoter ere parallele med Axerne i det forelagte Keglesnit, der er det samme, som vi 

 før have fremstillet ved Ligning (2), saavel som med Axerne i Hyperbelrækken (3). 



Da de her fremsatte Operationer med Proportioner helt igjennem kunne følges paa 

 Figuren, have de heller ikke været vanskelige for de gamle. Idet disse tilmed overalt have 

 sammentrukket Led saa meget som muligt, ville de have bemærket, at i det sidste Forhold 

 — som vor Omskrivning viser — Tælleren og Nævneren paa Faktoren a- nær ere il/'s 

 Koordinater henførte til parallele Axer gjennem Centret K for Hyperbelrækken, og at den 

 fundne ligesidede Hyperbel altsaa gaar gjennem delte Punkt. At den gaar gjennem Centret 

 L i Keglesnittet (2) ses umiddelbart. 



I de gamles geometriske Form for Beviserne herfor vil det være traadt tydelig 

 frem, al Ä" og i ligge hvert paa sin Hyperbelgren, naar Kurven (2) er en Ellipse, men paa 

 samme, naar den er en Hyperbel. Dette kan saa meget mindre være blevet upaaaglet, som 

 de lo Hyperbelgrene af de gamle betragtedes som forskjellige Kurver, hvilke dog begge kunde 

 komme til at spille en Rolle ved den foreliggende Diorisme. 



Den saaledes fundne ligesidede Hyperbel vil ved sin Skjæring med Keglesnittet |2) 

 (Stedet til de arithmetiske Mellemslørrelser) bestemme dettes Røringspunkter med Hyperb- 

 lerne (3). Disse Punkter ville være Midipunkter A af de Korder i det oprindelig givne 

 Keglesnit, som ere Maxima eller Minima blandt dem, der kunne lægges gjennem det givne 

 Punkt C. Her møde vi imidlertid Kravet om en Undersøgelse af Beskaffenheden af Skjæ- 

 ringen mellem Keglesnittet (2) og den fundne ligesidede Hyperbel og om en Afgjørelse af, 

 hvilke Skjæringspunkter der svare til Maxima, hvilke lil Minima af 2/, samt af, hvilke af 

 disse der ere absoliile, hvilke relative. 



