217 



Hvis nu den af disse, som gaar gjennem K, skjærer Ellipsen {A), ville de Hyperbler, h., 

 og Äa paa Fig. 58, som i Skjæringspiinklerne A^ og ^^ berøre Ellipsen, nødvendigvis 

 tillige skjære den i to Punkter; thi de Funkter af disse Hyperbler, som ere symmetrisk 

 beliggende med A^ og A.^ i Forhold til Hyperblernes Hovedaxe KN, ligge indenfor Ellipsen, 

 idet dennes Centrum L ligger paa den anden Gren af den ligesidede Hyperbel, og den 

 har en Axe parallel med KN. De Værdier 2/, og 2/^ af den indskudte Korde 2/, 

 som svare til Hyperblerne h„ og li-^ (se Ligning (3)), tilhøre altsaa hver endnu to andre 

 Korder gjennem C og kunne følgelig kun være et relativt Maximum og et relativt Mini- 

 mum. Paa lignende Maade ses, at Skjæringspunkterne A^ og A^ med den Gren af den 

 ligesidede Hyperbel, som gaar gjennem L, bestemme et absolut Maximum og et absolut 

 Minimum. 



Da der sikkert maa være et absolut Maximum og et absolut Minimum, skjærer den 

 sidstnævnte Gren altid Ellipsen i to og kun to Punkter, hvoraf vi kunne slutte, at Grenen 

 gjennem K enten skjærer den i to Punkter, berører den i et eller ligger udenfor den. 

 Al kun disse Tilfælde kunne indtræde, har ogsaa paa Eratosthenes' Tid været let at paavise; 

 men da det nøjagtige Kjendemærke paa Overgangstilfældet er en Ligning af sjette Grad, 

 kunne vi ikke antage, at Eratosthenes har kunnet bestemme dette. 



Han kan da enten have nøjedes med, ved udelukkende Anvendelse af Hyperbel- 

 grenen gjennem L at bestemme, hvad der for Grækerne vist nok var det uundværligste, 

 nemlig de Grænser, inden for hvilke Opgaven 1 det hele er mulig, eller tillige hertil have 

 knyttet en yderligere Inddeling i Tilfælde med 2,3,4 Opløsninger til en simpel Angi- 

 velse af de tilhørende Beliggenheder af Hyperbelgrenen gjennem K mod Keglesnittet. 



Hvis den givne Kurve er en Parabel eller Hyperbelgren, bortfalder det absolute Maxi- 

 mum, medens det absolute Minimum stadig bestemmes ved den Gren af den ligesidede 

 Hyperbel, som ikke gaar gjennem K. Hvis Punktet C ligger uden for det givne Keglesnit, 

 og Linien x = c altsaa skjærer Keglesnittet (A), bortfalder det absolute Minimum. For 

 øvrigt kan man direkte paa disse Tilfælde overføre, hvad der er sagt om det udførligere 

 behandlede. 



Til at Eratosthenes, som jeg nys bemærkede, ikke kan have opstillet Betingelsen 

 for Berøring mellem Keglesnittet [A] og den ligesidede Hyperbel, vilde der ogsaa være en 

 anden Grund, nemlig, at han da om end ad en anden Vej havde foregrebet Hovedind- 

 holdet af Apollonios' femte Bog. Vi have nemlig set, at Midtpunkterne .4 af Korder gjen- 

 nem et Punkt C af given Længde i Stedet for ved en Hyperbel h ogsaa kunne findes ved 

 en Cirkel (Ligning (4)), hvis Centrums Beliggenhed er uafhængig af Længden 2/. Punk- 

 terne A^, A2, A.^, A^ maa altsaa ogsaa være Børingspunkter mellem Keglesnittet {A) og 

 Cirkler med et fælles Centrum I eller være Fodpunkter af Normaler fra I. Den ligesidede 

 Hyperbel derigjennem bliver saaledes den samme som den, der bestemmer F'odpunkternc 



Vitlonsk. Srlsk. Skr-, G. Rrpkko, naturvidonsk. og matliom. Afil. III. I. 28 



