218 



af Normaler fra /. Betingelsen for dennes Rørinj; med Keglesnittet {At falder da sammen 

 med Betingelsen for, at / falder paa Keglesnittet (-l)'s Evolut. 



Denne samme Omstændighed har imidlertid, efterat Apollonios havde gjennemførl 

 Diorismen til Normalbestemmelsen, indeholdt en Opfordring til at benytte denne til at faa 

 bestemt Overgangstilfældet mellem saadanne Beliggenheder af det faste Punkt C i den her 

 foreliggende Opgave, for hvilke der existerer et relativt Maximum og et relativt Minimum 

 af Kordelængder, og saadanne, hvor der ikke gjør det. Søger man navnlig de Punkter C 

 af en Diameter i det givne Keglesnit, som indtage denne Overgangsstilling, kan delte Pro- 

 blem let føres tilbage til Bestemmelsen af tilsvafende Værdier af den Størrelse c, som i 

 Forhold til Keglesnittet (Aj bestemmer Beliggenheden af C's Polar med Hensyn til det 

 givne Keglesnit. Idet nu den Cirkel, som ved sin Skjæring med Keglesnittet {A\ skulde 

 bestemme Midtpunktet A af den søgte Korde gjennem C, har Ligningen (4) 



*'- + î/' = l- + c{æ+ ;.w'), 

 hvor æ-\-Åæ' ^ O er Ligningen for en ret Linie KS, ses det, at naar c er ubekjendt, 

 Cirklens Centrum I vil ligge paa en ret Linie vinkelret paa den anførte. De Stillinger af 

 Punktet I, som svare til de søgte Grænseværdier af c, blive da denne Linies Skjærings- 

 punkter med Evoluten. 



Har man nu, medens Evoluten kun indirekte indgaar i Apollonios' eget Arbejde, 

 efter hans Tid trukket denne op som en selvstændig og sammenhængende Kurve, kan man 

 ad denne Vej have faaet en grafisk Bestemmelse af Grænserne. LMen at indføre Evoluten 

 har man derimod heller ikke paa denne Maade kunnet naa videre end til den Ligning af 

 6te Grad, som man naturligvis heller ikke her kunde undgaa, og hvis blotte Fremstilling 

 har voldt for store Vanskeligheder til, at vi uden positive Grunde kunne tillægge Grækerne 

 Dannelsen af en saadan. 



Disse Vanskeligheder have dog først frembudt sig under Forsøget paa virkelig at 

 foretage den her tilsigtede Bestemmelse. At allerede Apollonios har forsøgt paa at be- 

 handle Normalproblemet i en Skikkelse, i hvilken Gjennemførelsen af hans Diorisme vilde 

 indeholde en Opstilling af den Ligning, der bestemmer Evolutens Skjæring med en vilkaarlig 

 ret Linie, kunne vi se af hans Fortale til femte Bog^), hvor han siger, at han havde bestemt 

 at henfore dette Problem til en vilkaarlig Diameter. I Grænsebestemmelsen vilde Evoluten 

 nemlig vist nok derved blive henfort til denne og dens konjugerede Diameter. Da Apollo- 

 nios netop har Anvendelsen til Opgavers Inddelinger og Diorismer for Øje, er det ikke 

 utænkeligt, at en saadan Bestræbelse netop kan have havt Hensyn til den her behandlede 

 Opgave, hvad enten denne nu har havt noget med Eratosthenes' Mellemstørrelser at gjøre, 

 eller ikke. 



1) .Se Tillæg 1. 



