223 



AC. BD = 



I 42 bevises, at naar en vilkaarlig Tangent til 

 en Ellipse eller Hyperbel skjærer Tangenterne i Ende- 

 punklerne ^ og ß al' en Diameter (Fig. 60) i C og 7?, er 



■b_ 



hvor b betegner Længden af den konjugerede Diameter 

 til AB. 



Det er nemlig fra første l5og bekjendt, at Tan- 

 genten og Ordinaten fra et Punkt E til den betragtede 

 Diameter skjære denne i Punkter K og L, som ere 

 harmonisk forbundne med Hensyn til A og B. Naar 

 Z er Kurvens Centrum, har man sikkert forlængst vidst, at man af de i første Bog fundne 

 Udtryk for denne Forbindelse kan udlede 



KB KL 



Kig. 60. 



KZ 



KA 



det er, da KZ er arithmetisk Mellemproportional mellem KA og KB, at KL er, hvad 

 ogsaa Grækerne kaldte harmonisk .Mellemproportional mellem de samme to Størrelser. 

 Apollonios anser det dog ikke for overflødigt at gjennemføre denne Omdannelse af 

 Proportioner. .Man faar dernæst 



BD LE 

 -AC' 



eller at 



ZT 

 BD. AC = ZT.LE; 



ZT.LE = ZT.ZM = (^y 



er den Bestemmelse af Tangenten i Forhold til den konjugerede Diameter ZT, hvis Big- 

 tighed Apollonios i første Bog har vist ej blot for Ellipsens men ogsaa for Hyperblens 

 Vedkommende. 



Den tredie Sætning i Gruppen [-43], at Rektanglet af de to Stykker, som en Tan- 

 gent til en Hyperbel afskjærer paa Asymptoterne, regnede fra Centrum, er konstant, følger 

 saa umiddelbart af anden Bog, at der ikke er Grund til at dvæle ved Beviset. 



Naar man nu i Henhold lil 41 vil drage en Tangent ZD (Fig. ö9| fra et givet 

 Punkt F til en Parabel, hvortil man allerede kjender lo Tangenter EC og EA samt deres 

 Berøringspunkter A og C, gjælder det om al bestemme denne saaledes, al den paa den 

 første ud fra Skjæringspunktet (i?), paa den anden ud fra Børingspunktet [A] afskjærer Stykker 



(EZ og AD), som slaa i et givol Forhold (-, y. )• Denne Opgave løses i forste Piog 



