225 



Apollonios ikke er i Besiddelse af dette Middel, undrer det dog den Flæser, som i lians 

 Keglesnilslære har set, mod iivor stor ndiændighed lian forstaar at sammendrage under ét 

 Sætninger og üeviser angaaendc ellipse, l'arabel og Hyperbel, nu at se ham gjentage de 

 samme Operationer for hvert enkelt Tilfælde. Aarsagen l«r søges deri, al det netop er ham 

 om al gjøre at faa det frem, som karakteriserer de enkelte Tilfælde, saaledes at der gjøros 

 Rede for, hvor mange Opløsninger der hver Gang kommer inden for de bestemte Grænser. 

 Dette udføres ogsaa med en Omhyggelighed, som man let ser maa være forbunden med 

 noget Besvær'). 



I det paa Fig. 61 behandlede Tilfælde finder man saaledes, al der kommer én og 

 kun én Opløsning, idet der nemlig i Øjeblikkel kun spørges om en Linie PJ/, som er 

 beliggende saaledes for de givne Punkter som paa Figuren. At Opgaven for denne Belig- 

 genhed overhovedet er mulig for alle Værdier af del opgivne Forhold, følger af, al den 

 bekjendte Værdi AC.BA\ af Rektanglet BAl.MC er <iBA.AC, altsaa i ethvert 



I BC \'^ 

 Tilfælde mindre end Maximumsværdien I I for et Rektangel, hvis Siders Sum qv BC. 



Da der gives to Punkter, som dele Linien BC paa den Maade, hvorved M her skal be- 

 stemmes, kræves der endnu et Bevis for, at kun él af disse falder paa ^ C og allsaa giver 

 en saadan Løsning, som i Øjeblikkel søges. Ogsaa delle følger deraf, at man skal have 

 BM . MC <_ BA . AC\ de ubekjendte Punkter M maa nemlig da falde hvert paa sin 

 Side af A% 



') Haliey søger (S. 139 af hans ovenfor citerede Udgave) en ingenlunde overflødig yderligere Forklaring 

 af den store Bredde i delte Skrift i den Omstændighed, at det har været bestemt for Begyndere og 

 derfor maalte fremsættes med skolemæssig Fuldstændighed og Strenghed som det første Exempel 

 paa den Art af Undersøgelser. De anførte Egenskaber gjøre det da ogsaa til et fortrinligt Exempel 

 for os, ej blot paa de gamles Form, men ogsaa — som alt anført — paa deres methodiske Brug 

 af Fladeanlæg (eller kvadratiske Ligninger) og de sig dertil knyttende Diskussioner. Halleys Formod- 

 ning strider slet ikke mod vor Antagelse om Skriftets Formaal; thi da der i hele Skriftet slet ikke 

 er Tale om Parablen, kan det godt være skrevet for Begyndere, om end med den udtrykkelige Bevidst- 

 hed hos Forfatteren , at Læserne derved samtidig med at øves j methodisk Undersøgelse forberedtes 

 til Behandlingen af de vigtige Opgaver angaaende Keglesnitlene, som fra først af have fremkaldt delle 

 saavel som de vistnok lige saa udforlige Skrifter om Arealsnittet og det bestemte Snit. Den overflødig 

 store, skolemæssige Bredde kan dog ogsaa tænkes forklaret paa anden Maade, f. Ex derved, at Apollo- 

 nios, foranlediget af Anvendelserne paa Keglesnit, har foretaget disse Undersøgelser i en ung Alder, 

 da han selv, i det mindste naar det gjaldt om noget nyt, følte sig bunden til denne Fremstillings- 

 maade. For den rige Keglesnitslæres Vedkommende derimod vilde denne være uoverkommelig, og 

 at Apollonios i Keglesnitslærcn har kunnet opnaa at forene de strenge Fordringer til Fuldstæmlighed 

 i Bevisførelsen med en saa slor Sammentrængen af de forskjellige Tilfælde, turde bero paa, at han 

 her bevægede sig paa et af hans Forgængere vel forberedt Felt. 



^) Derimod forelaa der ikke nogen logisk Grund for Apollonios lil derefter — som der i alt Fald gjores 



i den fra Araberne overleverede Text (Halley's Udgave S. 16) — at gjennemfore et synthelisk Bevis 



for, at, naar M er det søgte Punkt og N et andel Punkt af Liniestykket AC samt i\''| Linion PiV's 



A' , JS/' 

 Skjæringspunkt med A\ M\ , Forholdet — ' ' vil faa en Værdi forslijeljig fra den givne. Delle 



Vidensk. .Selsk. Skr., 6. R.TkkG, naturvidensk. og matliom. Afd. 111. 1. 29 



