229 



IïiIiIl' i du givne Liniers Skjæringspunkl, in;Ki i Overensstemmelse nietl, hvad dei- linder Sled 

 i Skriftet om Forholdssniltet, være behandlede i Begyndelsen af første liog. Hvorledes 

 Opgaven kan være behandlet i disse særegne Tilfælde, fremgaar af, hvad der er sagt om den 

 almindelige Opgave. At besidde Enkelthederne af Apollonios' Diskussion af disse Tilfælde 

 vilde ikke være af saa stor Betydning for os her, hvor de gamle forud kjendte de tilsvarende 

 Punktligninger for Keglesnittene, nemlig dem, hvor de henføres til et Par konjugerede Dia- 

 metre eller til Asymptoterne. 



Naar vi nu om begge Apollonios' her omtalte Smaaskrifter opstille den Formodning, 

 at de ere udarbejdede af Hensyn til Anvendelsen til Konstruktion af Tangenter til Keglesnit, 

 kunde man maaske have nogen Betænkelighed for Arealsnittets Vedkommende, da det 

 kun er en ringe Del af dette sidste Skrift, som finder de her omtalte Anvendelser. At 

 Skriftet gaar langt ud over disse, lader sig imidlertid forklare paa to forskjellige iMaader. 



For det første har det ikke ligget fjernt for Apollonios, naar han forud har havt 

 Lejlighed til at behandle Forholdssniltet i al Almindelighed, da at prøve, om dette ikke 

 ogsaa lod sig gjøre for Arealsnittets Vedkommende. Han er da ikke her stødt paa andre 

 Vanskeligheder end dem, som alt ere overvundne enten ved det ene af de specielle Areal- 

 snit, som han har udført for Anvendelsens Skyld, eller i Bøgerne om Forholdssniltet. Disse 

 kunde han tilmed følge Skridt for Skridt. Det har da ligget nær for ham at medtage den 

 fuldstændige Behandling i sit Skrift, der fremtræder uafhængig af Anvendelserne paa Kegle- 

 snittene. 



Man kommer imidlertid til en anden mulig Forklaring, naar man erindrer, al Ind- 

 hyllingskurven for en ret Linie, som paa to faste rette Linier afskjærer Stykker, der reg- 

 nede ud fra vilkaarlige faste Punkter danne et Rektangel af konstant Areal, i Almindelighed 

 er et Keglesnit, der berører de to faste rette Linier — eller, hvis man, som de gamle, 

 ikke ved Fortegn skjelner mellem Hetninger, sammensat af to saadanne Keglesnit — . 

 Der er i Virkeligheden ikke noget urimeligt i at antage, at Apollonios har kjendt den der- 

 ved angivne Egenskab ved Keglesnittene, og at han har skrevet om Arealsnittet med den 

 udtrykkelige Bevidsthed, at han derved gav Midler til at finde Tangenterne fra et Punkt til et 

 Keglesnit bestemt ved opgivne Tangenter. Vi have nemlig for det første set — og navnlig 

 i Bestemmelsen af Stedet til fire Linier havt et fuldkommen paalideligl Exempel paa — al, 

 Apollonios' Boger om Keglesnittene ingenlunde indeholde alt, hvad man da vidste om disse 

 Kurver. I'aa mig gjor endog den kortfattede Fremstilling i de tre Sætninger il — i3 af de 

 simpleste Bestemmelser af et Keglesnits Tangenter uafhængig af Roi'ingspunkterne Indtryk 

 af at skulle være det Grundlag for saadanne Bestemmelser, som der alene har været Brug 

 for i et Kompendium over disse Kurvers Theori, idet man derfra kunde gaa videre til andre 

 Bestemmelser. Og dernæst vil man se, at efterstaaende Udledelse af den Sætning, livorpaa 

 det her kommer an, ingenlunde kan have ligget fjernt for de græske Geomelrer. 



