234 



Sextende Afsnit. 

 Brændpunktegenskaber; Apollonios' Sdie Bog 45—52; Apollonios' to Boger om Bereringer. 



Apollonios anvender en af Sætningerne om Tangentfrembringelser, nemlig Sætning 

 41 i 3die Bog, til eu udvikling af de simpleste Sætninger om Ellipsens og Hyperblens 

 Drændpunkter. En saadan Tilknytning af Brændpiinktslæren til Tangentfrembringelsen er den 

 Vej, som i og for sig er den simpleste, naar man til udgangspunkt skal tage Keglesnittenes 

 analytisk-geometriske eller projektiv-geometriske Bestemmelse. 1 den efterfølgende Rede- 

 gjørelse skulle vi for Kortheds Skyld holde os til Ellipsen, medens Apollonios behandler 

 Ellipsen og Hyperblen under ét. 



1 Sætning 45 ere Brændpunkterne, som ikke have noget særligt Navn, bestemte 

 som to saadanne Punkter (Kig. 64) F og F^ af Hovedaxen AÅ^^ (med Endepunkterne 

 J og ^i), at 



AF.FA^ = AF^.F^A, = \ af Figuren o: = \ap, 



hvor a og ;; betegne Axens og Parameterens Længder. Sætningen udsiger dernæst om 



disse Punkter, at del Stykke MM^ , som Tangenterne 

 i A og A^ afskjære paa en vilkaarlig Tangent, fra F og 

 Fy ses under rette Vinkler. 



Drager man nemlig FM og FM^ , bliver 

 A3i.A^3I^ = AF.FA^ og derved de retvinklede 

 Trekanter M AF og FA^My ligedannede. De i disse 

 Trekanter beliggende Vinkler ved F ere altsaa Komple- 

 mentvinkler, hvorved Z. MFM^ bliver ret. Beviset 

 føres paa samme Maade for Punktet F^. 



Af denne Sætning følger atter, at de flre Punkter 

 M^ F, Fy, My ligge paa en Cirkelperiferi, hvoraf 



[i 4G] faas, at z M My F = ^ MFyF = z. Fy My Ay, og at z M, M Fy = z FMA. 

 Dernæst bevises [i 47], at Tangenten MMyS Røringspunkt falder i den retvinklede 



Projektion paa denne Linie af Skjæringspunktet T mellem FM^ og Fy M. Af 46 og 45 



følger nemlig, naar vi kalde denne Projektion R, at 



Fig. 64. 



MF My Fy 



og altsaa 



MA 



MR ~ MT 



MR MA 



MyAy 



MyT 



MyR 



RM. 



MP 



MyAy My F 



