235 



hvor P er Taogentens Skjæringspunkt med Axen. Al li da hliver Uøringspimkt, følger ai 

 den i første Bog (se S. 58) givne Tangentbestcmmelse. At Tangenten danner lige store 

 Vinkler med Brændstraalerne til dens Røringspunkt R, ses nu [48] ved Hjælp af Cirkler 

 gjennem Punkterne M, F, T, R og M^, F^, T, R, som give Z MRF = z. M TF = 

 AF^TM, = AFJiM^. 



For endvidere at naa til Hovedsætningen om Brændstraalernes Sum benyttes Pro- 

 jektionen G af Brændpunktet i^ paa Tangenten. A, Al, G, i^ ligge paa en Cirkel og Jj, 

 il/j, G^, F paa en anden, hvoraf følger, a.\. aAGF== Z-AM F= Z.A^FM^= /_A^GM^. 

 Heraf sluttes atter, at Axen A^A ses under en ret Vinkel fra Punktet G [49]. 



Drager man nu parallelt med Brændstraalen F^R Linier fra F og Centrum O 

 til Tangenten, bliver den første F H = FR, hvoraf følger, at G bliver Midtpunkt mellem 

 // og R, og allsaa at Linien fra O gaar derigjennem. Parallelen OG bliver da ifolge 49 

 halvt saa stor som Axen AA.^ [Sætning 50]. Den er tillige Middelstørrelsen mellem F-^R 

 og FH eller mellem Brændstraalerne F^ R og FR. Disses Sum bliver saaledes lig Axen 

 [51]. At for Hyperblens Vedkommende Differensen er lig Axen, bevises i 52. 



Dette er, hvad Apollonios har om Brændpunkterne. Han nævner altsaa ingen Sæt- 

 ning om Parablens Bræn dpunk t, hvoraf de moderne Forfattere, der have skrevet om denne 

 Sag, have sluttet, at man den Gang slet intet vidste om dette Punkt. At dette er urigtigt, 

 have vi imidlertid havt Lejlighed til at se, idet Pappos' 2den EJjælpesætning til Euklids 

 Overfladesteder') viser, at Euklid har benyttet og altsaa vidst, at det geometriske Sted 

 fur et Punkt, hvis Afstande fra et givet Punkt og en given ret Linie slaa i et 

 givet Forhold, er en Ellipse, Parabel eller Hyperbel, eftersom Forholdet er 

 = 1. Jeg viste i lOende Afsnit ved en Anvendelse udenfor det nævnte, tabte Skrift, at 

 denne Sætning rimeligvis endog har været vel bekjendt, maaske fremsat i Aristaios' 

 Solide Steder. At man da under Beskjæftigelsen med Euklids Skrift omvendt maa have set, 

 at enhver Parabel kan bestemmes som et saadant Sted, er rimeligt. 



For at forstaa, at Apollonios nu dog hverken har medtaget Parablens Brændpunkt 

 og Ledelinie eller de dertil svarende almindeligere Sætninger om Ellipsen og Hyperblen, 

 maa man for det første ogsaa her mindes, at det af Apollonios' egne Fortaler fremgaar, 

 at han ikke kan overkomme at give alt, hvad han ved om Keglesnittene. Man maa der- 

 næst i sine Fordringer til, hvad der i hvert Fald maatte være medtaget, vogte sig for at 

 medbringe den moderne Bevidsthed om Brændpunkternes Betydning i Astronomien eller om 

 deres Brugbarhed som Udgangspunkt for den hele Keglesnitslære. 



En særlig Forklaring af, at Apollonios ikke ved Siden af de andre Brændpunkt- 

 sætninger har taget de Parablen indbefattende Sætninger om Brændpunkt og Ledelinie med, 



') Pappos ed. Hullsch, S. lOOi IV. 



30' 



