236 



kun man maaske fau i hans Fortales all ofte benyttede Oplysning om, at tredie Bog særlig 

 skal give Grundlaget for Stedbestemmelser — altsaa ikke selve Stedbestemmelserne. Hvad 

 enten man nu paa Apollonios' Tid gjennemførte Bestemmelsen af Stedet for et Punkt, hvis 

 Afstande fra et givet Punkt og en given Linie staa i et givet Forhold, paa samme Maade, 

 som vi have set, at Pappos gjorde det, eller man dertil brugte en anden Behandling af den 

 Ligning af Formen y'^ = ax'- -\- b x -\- C , hvortil Stedet umiddelbart lader sig henføre, saa 

 har der til denne Bestemmelse ikke behøvedes noget andet Grundlag end det, som fandtes i 

 Apollonios' første Bog. Anderledes har det derimod været med Bestemmelsen af Stedet for 

 Punkter, hvis Afstande fra to givne Punkter have en given Sum eller Differens. I den 

 umiddelbare Opstilling af Ligningen for et saadant indgaar der nemlig to Rodtegn. Det 

 Arbejde, som disses Bortskaffelse volder os, har krævet et tilsvarende i den geometriske 

 Form, som Grækerne gave saadanne Spørgsmaal. Dette omgaas ved Apollonios' direkte Beviser 

 for, at enhver Ellipse eller Hyperbel er et saadant Sted. 



At det nu i Virkeligheden nærmest er dette Maal, Apollonios tilsigter, ses af den 

 Flygtighed, hvormed han behandler de øvrige Brændpunktegenskaber, som danne Led i den 

 Sætningsrække, der fører ham til dette Maal. Uagtet saaledes hans Sætning 49 i Virkelig- 

 heden er en Bestemmelse af Stedet for Projektionen G af et Brændpunkt paa en Tangent, 

 og der i det følgende netop benyttes, at (r's Afstand fra Keglesnittets Centrum er den 

 halve Hovedaxe, nøjes Apollonios dog i Fremsættelsen af den nævnte Sætning med at ud- 

 sige, at Hovedaxen fra G ses under en ret Vinkel. 



At Apollonios saa lidet fremhæver de enkelte Brændpunktsætninger, gjennem hvilke 

 han naar til sit Enderesultat, kunde let føre til den Anskuelse, at man overhovedet kun 

 havde beskjæftiget sig lidt med disse Sætninger og derfor ikke faaet Øjet op for deres 

 Betydning. Det er af nogen Vigtighed at faa at vide, om denne Anskuelse er rigtig eller 

 ej. Er den det, bliver det nemlig muligt, at det alt anførte virkelig paa Apollonios' Tid 

 var Grænsen for, hvad man vidste om Brændpunkterne, at man saaledes ikke har bemærket, 

 at det faste Punkt i de af Euklid kjendte Steder for Ellipsens og flyperblens Vedkommende 

 er et af de to Brændpunkter, og at man ikke har forsøgt at finde de Sætninger om Parab- 

 len, som svare lil de andre kjendte Brændpunktegenskaber ved Ellipsen og Hyperblen. 

 Har man derimod, som jeg skal søge at paavise, beskjæftiget sig mere indgaaende med disse 

 sidste, kan Spørgsmaalet om tilsvarende Egenskaber ved Parablen ikke være udeblevet og 

 endnu mindre, naar det først var fremkommet, have savnet Besvarelse. Dertil vare de 

 gamle for vante til at opstille Sætningerne om Parablen ved Siden af dem om de andre 

 [iurver, hvorved de lægge for Dagen, at de godt saa Overensstemmelsen i Sætninger og 

 Beviser, om disse sidste end ofte vare formelt uafhængige af hinanden. Navnlig maa Sætnin- 

 gerne om en Parabeltangents Stilling mod Bræ,ndstraalen lil Køringspunktet og om Siedet for 



