237 



l'rüjckliuiu'ii uf Uli l'iirubels Brændpunkl p;ia en 'l'angenl') megut snarl liuvc gjorl sij,' gjæl- 

 (lende og have været yderlig lette at bevise. 



At man har beskjæftiget sig ikke saa lidt med de Brændpiinktsætninger om Ellipsen 

 og Hyperblen, som danne de enkelte Led i den Bevisrække, der tilsidst fører Apoilonios 

 til Sætningerne om Brændstraalernes Sum eller Differens, slutter jeg først af denne Bevis- 

 rækkes egen Beskaffenhed. De yderlig simple Hjælpemidler, som den benytter, gjør den 

 næsten saa elegant som vel muligt; men den bærer kun i ringe Grad Præget af at betegne 

 den Vej, ad hvilken man først er naaet til Enderesultatel. Dette er meget snarere fundet 

 forud som en Besvarelse af Spørgsmaalet om, hvad det geometriske Sted er for Punkter, 

 hvis Afstande fra to givne Punkter have en given Sum eller Differens. Delte Spørgsmaal 

 kan let være foranlediget ved Konstruktionsopgaver, navnlig ved den at konstruere en Cirkel, 

 som berører tre givne. Om end Apoilonios i Skriftet om Berøringe rne^) har løst denne 

 Opgave, hvormed man rimeligvis ogsaa har beskjæftiget sig tidligere, ved Lineal og Passer, 

 har den Tanke at løse den ved geometriske Steder for Centrum dog ligget for nær, til 

 at man ikke først skulde have førsøgt dette. 



Den Analyse, som har ført til, at dette Sted er en Ellipse eller Hyperbel, har nu 

 rimeligvis været for lidet overskuelig og vidtløftig at omsætte til en Synthese. Ved nærmere 

 Studium af de paagjældende Punkter har man derimod efterhaanden fundet andre dertil 

 knyttede Egenskaber ved Kurverne, af hvilke man da efterhaanden har kunnet konstruere 

 den Bevisrække, som findes hos Apoilonios. At nu — hvad min Paastand gaar ud paa — 

 dette Studium har været grundigt og temmelig omfattende, slutter jeg af selve Bevisrækkens 

 overordentlige Simpelhed ; thi at sammensætte den af saa simple Led har kun kunnet lyk- 

 kes for den, der ud af en større Samling Egenskaber har kunnet udvælge de simpleste og 

 bekvemmeste for det foreliggende Formaal. 



Et andet Bevis har jeg deri, at det kan paavises, at Apoilonios ikke er den 

 første og eneste, der har beskjæftiget sig med de Sætninger, hvorom l'alen er. 



Den tredie af Pappos' Hjælpesætninger til Euklids Porismer^i lyder, idet vi blot 

 foretage nogen Forandring af Bogstaverne, medens vi tegne samme Figur (Fig. 65), saaledes: 



') Den tilsvarende om Ellipsen og Hyperblen [49 lios Apoilonios] er et Exempel paa, at del ikke er 

 ganske rigtigt, naar man til Forklaring af Apoilonios' formentlige Blindhed overfor Parablens 

 Brændpunklegenskaber har gjort gjældende, at han kun bcskjæftigede sig med de symmetriske 

 Urændpunktesenskaber. Se en Nole af Dr. Heiberg i Hist lit. Ablhlg. d. Zeitschr. f. Malh. u. 

 Phys. XXVIII S. 129. 



') Pappos ed. Hultsch S. G44 ff. Da Apoilonios i det nævnte Skrift ogsaa behandler de Tilfælde, hvor 

 en eller flere af Cirklerne ombyltes med retle Linier, vilde ogsaa denne Opgave frembyde en natur- 

 lig Anledning til at komme ind |iaa Undersogelse af Parablens Brændpunkt og lil al se Overens- 

 stemmelsen mellem detle og Ellipsens og Hyperblens lirændpunkler. 



■i) Hultsch' Udgave, S. 90C. 



