238 



Der er givet en Halvcirkel over A^A, i Punkterne A og A^ oprejses Perpendiku- 



iærerne AM og A^M^ paa denne retle Linie, og der drages en vilkaarlig Linie Jiil/j; 



i Punktet G (hvor denne Linie skjærer Cirklen) oprejses G F 



vinkelret paa M^M; er F dens Skjæringspunkt med A^A, 



bliver 



AM.A.M^ = A^F. FA. 



Mærkelig nok beviser nu Pappos ikke selve denne Sætning, 

 men den omvendte Sætning, eller, da Bevisets Enkeltheder 

 Fi„. 65. kunne vendes om, kan man sige, at han giver den Analysis, 



hvoraf det synthetiske Bevis for selve den Sætning, som han 

 udsiger, kunde udledes. Den virkelig beviste Sætning falder — ■ uden at noget Keglesnit 

 nævnes — nøjagtig sammen med den, at det geometriske Sted for Projektionen af et Brænd- 

 punkt i en Ellipse eller Hyperbel (Figuren svarer til denne sidste) er Cirkelen over Hoved- 

 axen som Diameter, altsaa ganske den samme, som Apollonios beviser i 49 og dernæst 

 anvender i 50, uden dog i sin Iver for at naa til Enderesultatet at give sig rigtig Tid til 

 at udsige den. Bestemmelsen af Tangenten 71/j ili ved Rektanglet af de Slykker, som den 

 afskjærer paa Toppunktstangenterne, og af Brændpunktet F ved det med det første Rekt- 

 angel lige store A^^F.FA er nøjagtig den samme som den, Apollonios anvender. Det 

 samme gjælder om hele Pappos' Bevis. 



Det tør nu antages, at den her foreliggende Hjælpesætning, ligesom Pappos' 

 Djælpesætninger til bekjendte Værker, ikke har indeholdt andet end udførligere Paavisning 

 af noget, som var Hovedværkets Forfatter bekjendt, og som han enten har betragtet som 

 bekjendt ogsaa for Læserne eller ladet fremgaa saaledes indirekte af Sammenhængen, at 

 et særligt Bevis blev overflødigt. Euklid har altsaa kjendt en Sætning, som efter sit 

 Indhold og det Bevis, som Pappos anser for det mest nærliggende, falder nøjagtig sammen 

 med en vigtig Sætning i Apollonios' Brændpunktslære, en Sætning tilmed, som først antager 

 en simpel Form, naar den opfattes som Brændpunktsætning. 



At Hjælpesætningen saaledes, paa Formen nær, helt tilhører Brændpunktslæren, 

 gjør det sandsynligt, at det samme har været Tilfældet med det eller dem af Euklids Poris- 

 mer, til hvis Beviser den hører. Endog Chasles, som ikke antager nogen bevidst For- 

 bindelse mellem Euklids Porismer og Keglesnitslæren, bygger paa den anførte Hjælpesætning 

 sit Porisme 17 4, der — selvfølgelig uden at nævne noget Keglesnit — udsiger, at Perpen- 

 dikulærerne paa en Tangent til et Keglesnit i dens Skjæringspunkter med Cirklen over Hoved- 

 axen som Diameter gaa gjennem faste Punkter, sine Porismer 194 og 195, der ere Udtryk 

 for, at Indhyllingskurven for det ene Ben af en ret Vinkel, hvis andet Ben gaar gjennem 

 et fast Punkt, medens Vinkelspidsen glider paa en Cirkelperiferi, er et Keglesnit (med det 

 første Punkt til Brændpunkt), og sit Porisme 196, der er Udtryk for, at Indhyllingskurven 



