247 



talen pege hen. I el, saadanl Skrill kan der da være givet en Dcfinilion [laa Keglesnils 

 Ligedannethed af samme Heskallenhed som den, der findes lios Apollonios, nemlig følgende 

 [Def. 2]: Saadanne Keglesnit kaldes ligedannede, i hvilke, idet Ordinaterne oprejses vinkel- 

 ret paa Axerne, Ordinaterne blive proportionale med de tilsvarende Abscisser regnede nd 

 fra et Toppnnkt, naar tillige disse Abscisser ere indbyrdes proportionale. 



Denne Definition er af en almindelig Natur, om den end umiddelbart blot er knyttet 

 lil Keglesnit, henførte til en Axe og en Toppnnktstangent som Koordinataxer. Den er nemlig 

 blot den specielle Form, som der netop er IJrug for, af følgende Definition — som de 

 gamle rigtig nok ikke have udtalt — : Kurver kaldes ligedannede, naar de kunne henføres 

 saaledes til retvinklede Koordinatsystemer, at tilsvarende Punkters to Koordinater staa i et 

 og samme konstante Forhold. Ogsaa i den mere begrænsede Form hos Apollonios omfatter 

 Definitionen paa én Gang alle Keglesnit. Det bliver derved en Sætning, at alle Parabler 

 ere ligedannede [II], og en Sætning, at Ellipser eller Hyperbler ere ligedannede, naar deres 

 "Figurer» over en Axe ere ligedannede, o: i Henhold til Apollonios' Fremstillingsmaade, 

 naar deres ene Axe og den tilhørende Parameter ere proportionale [12). Archimedes' 

 Kjendemærke følger ogsaa ligefrem heraf. 



Naar jeg ikke anser det for umuligt, at man ogsaa før Apollonios kan have op- 

 stillet denne Definition, er det, fordi der endnu kan have været et bestemt Fremskridt, for 

 hvis Skyld Apollonios kan have taget fat paa Ligedannethedslæren. Ved Definitionen saa- 

 vel som ved de tidligere hos Archimedes forefundne Kjendemærker var der nemlig kun 

 taget Hensyn til Henførelsen til Axerne. Apollonios, der — som han selv fremhæver i 

 Fortalen til femte Bog — stræbte at give sine Sætninger en saadan almindelig Form , at 

 de lige saa fuldt omfattede hvilke som helst konjugerede Diametre, maatte ogsaa ønske 

 et til disse knyttet Kjendemærke. I Sætning 13 godtgjør han, at Keglesnit ere ligedannede, 

 naar «Figurerne» over Diametre, der danne samme Vinkler med de tilhørende Ordinater, 

 ere ligedannede (o: naar disse Diametre ere proportionale med de tilhørende Parametre), 

 lîeviset, som maa knyttes til den til Axerne hørende Definition, føres let ved den 1 første 

 Bog givne Koordinatovergang fra en vilkaarlig Diameter lil en Axe. Det beror i Virkelig- 

 heden blot paa, at de retliniede Figurer, hvorved denne Overgang foretages, ere ligedannede. 



Jeg skal her bemærke, at i alle enkelte Tilfælde, hvor det sidst omtalte Kjende- 

 mærke paa Ligedannethed maatte forekomme, har det i og for sig været lige saa nærlig- 

 gende at betragte Keglesnittene som ligedannede, som naar Koordinaterne ere retvinklede, 

 og al særlig Ligedannetheden af de paa ensartet Maade til F{eglesnittene knyttede retliniede 

 Figurer har været ligesaa iøjnefaldende. Der er derfor intet i Vejen for, at saadanne 

 Tilfælde kunne være behandlede forud, navnlig ikke for, at man kan have gjennemført Be- 

 stemmelsen af el Par konjugerede Diametre lil et Sted tit fire Linier saaledes, som jeg har 

 antaget i 7de Afsnit. iVlan maa tvertimod netop antage, at Beskjæfligelsen med saadanne 



