248 



Tilfælde har bidragel til at fremkalde Apollonios' 6te Bog ved at vise Ønskeligheden af 

 al faa selve Keglesnitlene tagne med ind i denne Ligedannelhed af de tilhørende retlinjede 

 Figurer, som man benyttede. Ligeledes, hvis Eratosthenes' Steder til Mellemstørrelser 

 have været de Keglesnit, som vi anførte i fjortende Afsnit, maa man i hvert Fald have set 

 og vistnok — som vi ogsaa have opstillet en Formodning om — kunne have benyttet deres 

 Ligedannethed. Man kan da enten have betragtet den som indlysende eller ført særskilte 

 Beviser for den. I begge Tilfælde har der heri været en Opfordring til en saadan alminde- 

 ligere Behandling som den, Apollonios giver i 6te Bog. 



Der vil ingen Grund være til at dvæle ved Bogens Sætninger om Kongruens, om 

 Tilfælde, hvori Keglesnit ikke kunne være kongruente eller ligedannede, samt de tilsvarende 

 Sætninger om Keglesnitsbuer eller de Segmenter, der afskjæres af Korder (saasom at Buer 

 af Keglesnit, der ikke selv ere ligedannede, ikke kunne være ligedannede, eller at en Bue 

 af en Ellipse kun er kongruent med tre andre Buer af samme Ellipse, at ingen Del af et 

 Keglesnit er en Cirkelbue o. s. v.). 



Vi skulle derimod berøre Konstruktionerne i Bogens Slutning. Den sidste af disse 

 er blot en Gjengivelse i en ny Form af en Konstruktion, som alt er udført i første Bog. Den 

 Gang gjaldt det — som vist i 3die Afsnit — i Grunden kun om at vise, at en Ligning af 

 Formen y- = px -\- ax- altid fremstiller et Snit i en Omdrejningskegle. Idet en saadan 

 Fremstilling af en Kurve i skjævvinklede Koordinater føres tilbage til en Fremstilling af 

 samme Form i retvinklede, gjaldt det herved blot om at faa en eller anden Omdrejnings- 

 kegle lagt gjennem en paa den angivne Maade fremstillet Kurve, hvor en Axe og den til- 

 hørende Parameter ere opgivne. For at opnaa dette valgte Apollonios paa Forhaand — om 

 end kun indirekte ved Indførelsen af en Cirkel, hvorpaa han vilde have Toppunktet belig- 

 gende — Toppunktsvinklen vilkaarlig, for Flyperblens Vedkommende dog med en vis Grænse- 

 betingelse. 



Forskjellen kommer nu blot til at beslaa i, at i 6le Bog den Opgave at konstruere en 

 Omdrejningskegle ligedannet med en given, som indeholder en given Hyperbel [32] eller 

 Ellipse [33], stilles og løses selvstændig og fremstilles 1 den for Konstruktionsopgaver ved- 

 tagne synthetiske Form. Denne medfører for Hyperblens Vedkommende en Opstilling 

 forud af den nødvendige Diorisme og en særlig Behandling af Opgaven i Grænsetil- 

 fældet. Baade for Ellipsen og Hyperblen føres tillige Beviser for, at man faar alle Løs- 

 ninger med, noget, som vil være fulgt umiddelbart af den til den synthetiske Fremstilling 

 svarende Analyse. Da der ikke siges, hvorledes det givne Keglesnit tænkes givet, er det 

 vel ogsaa muligt, at man har tænkt sig det forelagt som tegnet, og at Axen med tilhørende 

 Parameter, der — ligesom i første Bog — benyttes i Konstruktionen, tænkes konstruerede 

 først ved Hjælp af anden Bog. I Realiteten er der derimod slet ingen Forskjel fra, hvad 

 man finder i første Bos. 



