250 



at det i denne Plan faar en Diameter af given Længde, og at den dertil liørende Parameter 

 ogsaa faar en given Længde. Var nu end Løsningen lige saa simpel, blev Opgaven kun- 

 stigere, idet Keglesnittet ikke mere er kongruent med et givet, og det er derfor for- 

 staaeligt, at Apollonios ikke har bekymret sig om denne almindeligere Opgave. 



Anderledes stiller Sagen sig, naar man vel lader Keglen være skjæv, men antager, 

 at Figurplanen er Keglens Symmetriplan. Den løste Opgave er nemlig da den: at anbringe 

 et givet Keglesnit i en given cirkulær Kegle vinkelret paa dens Symmetriplan. Det er klart, 

 at Apollonios lige saa vel vilde have fundet Løsningen af denne Opgave som af den, hvor 

 Keglen er ret, hvis han havde brudt sig derom. 



Det samme gjaldt om den nys omtalte, baade i sjette og første Bog fremsatte Løs- 

 ning af den omvendte Opgave — som i Grunden blot er en anden Løsning af den samme 

 Opgave. Ogsaa den var det os derfor bekvemmest') at knytte til den samme Figur, idet 

 hverken AB ^ AC eller den Omstændighed, at Keglen blev ret, gav Anledning til nogen 

 Lettelse. I første Bog havde det imidlertid, som vi have vist, sine gode Grunde, at Apol- 

 lonios netop ønskede en ret Kegle. I sjette bliver det derimod paafaldende, at han ikke 

 giver sin i de to Former fremkommende Opgave den udvidede Skikkelse, som begge hans 

 Løsninger umiddelbart kunne faa, naar man blot ikke vilkaarlig indskrænker Forudsætningerne. 



Attende Afsnit. 

 ApolloDios' syvende og ottende Bog; konjugerede Diametres Længder. 



Af større Interesse end Apollonios' sjette Bog er hans syvende, hvor han frem- 

 stiller de videregaaende Undersøgelser over konjugerede Diametres og de tilhørende 

 Parametres Længder, hvortil formodentlig hans Beskjæftigelse med konjugerede Diametre 

 i første og anden Bog har givet ham Anledning. De vigtigste af de Resultater, hvortil 

 han kommer, ere de Sætninger, at for Ellipsen Summen og for Hyperblen Differensen af 

 et Par konjugerede Diametres Kvadrater ere konstante, og at for begge Kurverne det af et 

 Par konjugerede Diametre og den mellemliggende Vinkel dannede Parallelogram har et 

 konstant Areal. 



Den sidste Sætning kan for Ellipsens Vedkommende let udledes ved Projektion 

 eller ved at betragte Ellipsen som Snit i en Cylinder eller, naar man vil blive i en Plan, 



») Se S. 49. 



