251 



ved Sanimenlignmg med en Cirkei over en af Axerne sum Diameter. Da Archimedes i 

 Bogen om Konoider og Sfæroider') gjør anden Brug af denne sidste Fremgangsmaadc, er 

 det iitiie umuligt, at Apollonios har fundet Sætningen ad denne Vej; men saa har han i 

 hvert Fald i sin Bog sat et andet Bevis i Stedet, som ogsaa er anvendeligt paa Hyperblen. 



At dette, saavel som at (inde og bevise Sætningerne om Kvadraternes Sum og 

 Differens, ingenlunde er saa let, som Resultaternes. Simpelhed kunde lade formode, er 

 bekjendt nok. Det har derfor saa megen Interesse at se, hvorledes Apollonios naar frem 

 til dem, at vi finde det rigtigt foreløbig at se bort fra de anførte Sætningers Indordning i 

 den hele Sammenhæng, hvor der ikke er tildelt dem nogen Hovedrolle, og deraf blot 

 uddrage det, som hører med til deres Begrundelse. For Nemheds Skyld skal jeg nærmest 

 holde mig til Ellipsen, idet jeg om Hyperblen bemærker, at Apollonios lader Længderne 

 af begge konjugerede Diametre træde tydelig frem ved samtidig Brug af to konjugerede 

 Hyperbler, hvorved ogsaa de for Ellipsen gjældende Beviser blive anvendelige paa Hyperblen. 



Vi skulle begynde med Sætningen om det af to konjugerede Diametre og den mellem- 

 liggende Vinkel dannede Areal, i hvis Bevis der kun behøves og af Apollonios kun anvendes 

 én Hjælpesætning. 



Lad (Fig. 69) AC være Ellipsens Axe, B K og ZH et Par konjugerede Diametre. 

 Da er det i første Bog (se S. 67) 

 vist, at den til sidstnævnte Diameter p^ 



hørende Parameter p', er bestemt ved 

 „ BI 



p- 



BN 



BU 



Fig. 69. 



naar / og A' ere de Punkter, hvor 



Tangenten i A skjærer Tangenten BI) 



og Diameteren KB, og D Tangenten 



BIJ'% Skjæringspunkt med Axen. Idet 



vi sætte Længderne af de to konjugerede Diametre BK = a', ZH = b', og idet BE og 



DP ere vinkelrette paa Axen, faas heraf videre 



eller 



è'2 



a' 



== 



P' 



= 



2 



BD^ 

 EP 



OH^ 







a' 





OE 



\'i hos Apollonios] 



BB-' ~ 2.BP ED' 



Trækker man nu ogsaa Tangenten QR i //, viser denne Hjælpesætning, at 



AQHO _ 0H-' _ OE^ OE^ _ _ OE^ 



AOBD ~ BD" " ED OE.ED É S^ ' 



1) 1 Sætning 4. 



32- 



