252 



hvor ES er Mellemproportional mellem OE og EJJ og allsaa ifølge el ofte anvendt Resultat 



fra første Bog = y . EB. naar a og b ere Axernes Længder. 



Nu viser Figuren, al Parallelogramraet RB O H er Mellemproporlional mellem de 

 dobbelte Værdier af Trekanterne QHO og OBD. Man finder allsaa, idet _ OBD = 

 ^EB .OB, at 



n „„ 0£ ,. „ , EB , ^ ,~ r^ b [ ay- ab 



idet O E . O B ^ {—\ . Det af de to vilkaarlige konjugerede Halvdiamelre og den mel- 

 lemliggende Vinkel dannede Parallelogram er altsaa lig Rektanglet af Halvaserne. .Multipli- 

 kation med 4 giver da den forlangte Sætning [31]. 



Den eneste blandt Apollonios' forskjellige Hjælpesætninger eller mindre vigtige Sæt- 

 ninger, som virkelig behøves i Beviset for den anden af de Sætninger, hvormed vi her 

 beskjæflige os, giver en Bestemmelse af et Eurvepunkt is (Fig. 69| Afstand fra et Top- 

 punkt C. som falder helt sammen med den algebraiske Omskrivning 



CL- = y- -f a:- = px -j- (a -j- 1 ) ^^ = (« + 1 , æ | -~j + A , 



hvor Ca antages at være Abscisseaxe, C Begyndelsespunkt, ■'. er altsaa Stykket CM, 



p p 



X A 1- — er. idet a ==-!--£^ ibenlioldsvis for Ellipsen 02 HvperhlenK Punktel Ji's Afstand 



a -f ! ' a r _ .X- 



XM fra det ved 



XC = P = -P^ 



^^P_ a^P 



eller, idet XA = ^" 



ved 



XA 



a 



XC -^ 



bestemte Punkt A' af Axen. M;in faar altsaa 



Ci« 



CM.XM 



= \ +a. 



hvor Punkterne C og X ere faste, medens Konstanten 1 — a nærmere er bestemt som 

 CA 

 XA ' 



Medens vi her have skjelnet mellem Ellipsen og Hyperblen ved Fortegn, og en konse- 

 kvent Brug af delte ogsaa tillader at indbefatte en Ellipse, hvor AC er den mindste Axe, i 

 den givne Fremstilling, fremstiller Apollonios disse tre Tilfælde hvert ved sin Figur [2 for 

 Hyperblen, 3 for Ellipsen]. 



