253 



Afsætte vi ÂY= XC, bliver paa samme IMaade 



AL^ , , AC CA 



1 + « 



AM. YM ' Y C XA 



Naar nu det fundne Resultat skal anvendes til Udledelse af Sætningen om Summen 

 eller Differensen ■! (a'^-^-i'^j, af to konjugerede Diametres Kvadrater, drages CL (Fig. B9) 

 parallel med den ene Diameter KB, og dens Supplementkorde AL bliver da parallel med 

 den anden ZH. Heraf følger, at /\ ALC c^ A LJ BO, og 



OB'" _ OE. OD 

 ~CU ^ CM . CA ' 



hvor OE :0D = i-^\ = -^~ og, som nys bevist, CL'- = (I -L o.] CM . XM. 



Heraf følger da atter, at OB'' = ' '^ "" XM . CA, eller, idel 2 Oi? = a' og 1 -f « = 



CA 



at 



XA 



hvor kun Punktet M bevæger sig, naar a' varierer. 



Paa samme IMaade kunde man ej blot for Ellipsen , hvor der ingen væsentlig Vov- 

 skjel er paa de konjugerede Diametre a' og b', men ogsaa for Hyperblen, hvor Diameteren 

 b' skjærer den konjugerede Hyperbel, udlede, at 



è'2 ^ YM ' 

 (idet vi ikke mere give Liniestykkerne Fortegn). Derefter faar man 



a"- Y C 



(2) 



a'2_j_6'''' YX 



altsaa konstant. Udtrykkes denne Konstant ved a og 6, faar man a'^J-i'^ = g^-j- 6'^ 



[12 for Ellipsen, 13 for Hyperblen]. , 



ApoUonios beviser Ligning (I) paa samme IMaade som her i Løbet af Beviset for 



den I Øjeblikket uvedkommende Sætning 8 og henviser senere til dette Bevis; men Ligning 



(2) — som vi blot have opstillet for hurtigere at komme til Maalel — behøver han ikke, 



da han forud ad anden Vej har bevist, at 



a'2 MX 



l~î^ ^ YM ' t6 for Hyperblen, 7 for EllipsenJ 



Hans Bevis herfor er følgende. Han havde, som vi have set, forud vist (Ij, at (Fig. 69| 



0Ü-' _ 9Æ- 

 BD-' ~ ed' 



