254 



Heraf folger ved Ben\Uelse af ligedannede Trekanter, al 



b'- _ OH-i _ OE BL- _ Cll_ AL"~ 



ED Oß^ 



MA CL^- 



YM_ 

 MX 



h\or den sidste Omdannelse er udført ved Anvendelse af den nys benyttede Bestemmelse 

 af Kurvepunkters Afstande fra Toppunkterne [2 og 3). 



Mellem denne Sætning, der angiver Værdien af —, og Sætningerne om a'--^-b'- 

 er indskudt følgende Bestemmelser af a'-fè', a' — b' og a'b', som udledes af vor Ligning 

 (li og det nu fundne Udtryk for — ;- og gjælde baade for Ellipsen og Hyperblen: 



a- 





(a'+b 



!' 



a2 





[a' — b') 



•i 





a- 



Y C. MX 



[MX+VYM . MX] 

 YC.MX 



[MX — \'YM . MX] 

 YC 



a'b' 



m 



m 



[lOj 



VYM . MX 



Disse Ligninger ere simple Omskrivninger af Apollonios" egen Fremstilling af Sæt- 

 ningerne, hvoT.y YM . MX belegnes, som den Linie, der "magter^ Rektanglet YM.MX 

 o: er Side i del dermed lige store Kvadral. Ved Siden af a'- -f- b'- for Ellipsen og 

 a'- — b'^ for Hyperblen bestemmer han ogsaa a'^ -{- b'"^ for Hyperblen [II] og a'- — è'^ for 

 Ellipsen [14]. 



Det ser saaledes ud, som om Udtrykkene for a'-^b'^ henholdsvis for Ellipsen og 

 Hyperblen kun ere fundne under en samlet Opstilling af en Række simple Funktioner af a' 

 og b', hvis Formaal vi snart ville lære at kjende. Det er imidlertid lige saa rimeligt, at 

 det er de simple udtryk for a'-^b'-, der have bragt til at spørge, om ikke ogsaa nogle 

 af de andres Værdier blive lige saa simple. De fundne Resultater ere dernæst ordnede 

 efter Funktionernes Beskaffenhed. Derimod er som alt anført den til Grund liggende 

 simple Bestemmelse af a', som indeholdes i vor Ligning (!), ikke opstillet i nogen Sætning, 

 men indeholdes kun i Beviset for Sætning 8 og benyttes dernæst i de følgende Beviser. 



I det følgende søges Bestemmelser af de samme simple Funktioner af en Diameter 



h'- 

 a' og den tilhørende Parameter />'. Allerede i 6 og 7 hvor —^ er fundet, bemærkes, at 



det samme Udtrvk tilhører 



a' ' 



Denne Omstændighed sætler i Stand til med Lethed at 



finde Udtryk for selve p' [1.5], for a' — p' [16], for a' ~ p' [17] for a'p' [18] — el Resultal, 

 der, da b'^ = a'p\ falder sammen med den af os opstillede Formel l"2) — for a'- -\- p'- [19] 

 og for a'2 — p'2 [20]. Alle disse Størrelser bestemmes som de foregaaende ved Beliggen- 



