256 



betingelserne, nemlig for en Hyperbel iFig. 701, om hvilken vi foreløbig blol bemærke, at 



„ ^ , CY XA a 



Hovedparameteren p>a, altsaa ,. = =—<;]. 



x A C Å p 



Mulighedsbetingelsen for Ligningen er 

 / /2.CY[^i.C F— 4 YX ) > O , 



eller, idet paa Figuren CF>-0, 



AYX 4{p — a) 







1 



c~~r~ 



X A 





> 



c Y 



\[ Til den lavere Grænse svarer 



a.CY 



= 2YX. 



altsaa, da æ = YM, XM = FX Betingelsen for, at dette 



\ T' 



Minimum for -^~- overhovedet skal kunne indtræde, er. at del fundne 

 a 



Æ'>F^, eller at p>2a. Minimumsværdien for u, giver ifølge 

 Ligning (1), at Minimum afp' bestemmes ved 



Fis. 70. 



a2 



YX 



XM 





P 



i^ "CF CY 



Det fundne p' er altsaa dobbet saa stort som det tilsvarende a' 



I Overensstemmelse hermed viser Apollonios først, at naar for en Hyperbel a>^^ 

 er ;; den mindste Parameter, som horer lil forskjellige Diametre [33 for a>p, 34 for 

 p>a>-|- . Dernæst udsiger han [35], at der, naar « < -^ • l<an bestemmes en Diameier 



paa hver sin Side af .Axen, som er halv saa stor som den tilhørende Parameter p', og at 

 denne er mindre end de Parametre, som høre til andre Diametre, samt at disse blive desto 

 større, jo mere de, til den ene eller anden Side, fjerne sig fra de omtalte to Diametre. 

 I det synthetiske Bevis begynder han med iFig. 70) at afsætte XM = YX og trække Dia- 

 metre parallele med Korder fra C til de Punkter, hvis Projektion paa Axen er M. Om 

 disse Diametre beviser han ved de Operationer, som Euklid anvender paa Behandling af 

 Ligninger af 2den Grad, at de have de anførte Egenskaber. 



Paa samme iVIaade bestemmer Apollonios [40J i en Hyperbel, hvor a<c^p, Mini- 

 mum af a' + p' ved (Fig. 70i at gjøre XM = iYX, som tillige giver a' = ip'; endvidere 

 [48] i en Ellipse, hvor a? > Up + a)' (Fig. 69), og [46] i en Hyperbel, hvor a^ < Up — a)- 

 (Fig. 70), Minimum af a'- + p'^ ved at gjøre 2XM' = YX-, som tillige giver a'^ = 

 i(p'-]-a')2. 



Rækken af Grænsebestemmelser slutter sig til de enkelte Udtrvk for Størrelserne 



a' 



-j-, a' -}- b' . . . . p', p' -\- a' o. &.\. i Bogens første Del. Dette tjener til at vise os den 



egentlige Hensigt med disse Udtryk, som næppe kan have været at beregne selve de nævnte 



