261 



Fis. 10. 



7/2 = Ml\ PM^ = x.NP. l'N^ , 

 hvor X er en Konstant, som kun afhænger af Retningerne 

 af MM^ og NA\, men ikke af Punktet P's Beliggenhed. 



Er nu omvendt Keglefiaden bestemt ved Ellipsen 

 (NN^), vil Retningen af de cirkulære Snit, som staa vin- 

 kelret paa Figurplanen, hvis der existerer saadanne, kunne 

 bestemmes ved gjennem et Punkt F af N N^ at trække 

 en ret Linie l/M, saaledes, at MP.PM^ = y^, hvor y 

 nu er bekjendt. 



Denne Opgave løses let derved, at, naar man lader 

 P være fast og M gjennemløbe Linien TN, det ved denne 

 Relation bestemte Punkt My gjennemløber en Cirkel, hvis 

 Skjæring med TN^ da giver Punktet M^. Denne Kon- 

 struktion bliver imidlertid kun mulig, hvis Cirklen virkelig skjærer den rette Linie. 



Archimedes har derfor [i 8 i det nævnte Skrift] ført Opgaven tilbage til en anden, 



som altid kan løses. Et Snit (LL^) vinkelret paa Halveringslinien TH af z. NTN^ er 



en Ellipse, idet Relationen 



«/'•^ = x.NP.PNy, 



som nu er opgivet at finde Sted for ethvert Punkt af Snittet {NN^), ogsaa kommer til at 

 gjælde for dermed parallele Snit ER^. Vælges da saadanne, som skjære LLy i det bevæ- 

 gelige Punkt Q, bliver 



if- = xRQ.QR, = x.Å.LQ.QLy, 



hvor Å er en ny Konstant ifølge den ogsaa i forrige Bevis benyttede Bjælpesætning. 



Keglefladens Toppunkt T er nu beliggende lodret over Centrum H i Ellipsen 

 [LLy), altsaa i begge de Planer, der staa vinkelret i Axerne. Der kan saaledes være 

 Tale om paa den nys nævnte Maade at søge cirkulære Snit ikke blot vinkelret paa Eigur- 

 planen, men ogsaa vinkelret paa den derpaa vinkelrette Plan gjennem IB. Hvis [LL^) 

 ikke selv er en Cirkel, ser man let, al de cirkulære Snit staa vinkelret paa den af de to 

 Planer, som indeholder (ZZ/J's lille Axe. Dette har Archimedes forud vist [i "]. 



Det bemærkes, at Archimedes, hvis han havde havt Brug for andre plane Snit i 

 den ved T og Keglesnittet (iViVj bestemte Kegleflade end (LL^), lige saa let vilde se, 

 at disse vare sædvanlige Keglesnitslinier. Endvidere ser man, at Archimedes maa have 

 vidst, eller at dog den Analysis, som svarer til hans synthetiske Behandling, maa have gjort 

 ham bekjendt med, at ikke blot Snit vinkelrette paa Symmetriplanen i en skjæv cirkulær 

 Kegle, men ogsaa saadanne, som staa vinkelret paa den paa Symmetriplanen vinkelrette 

 Plan, der halverer Vinklen mellem de i Symmetriplanen indeholdte Frembringere, ere sæd- 



