2CA 



virkelig blive Ellipser, bevises [i 12, 13 og l'i| paa ensartet og en med Archimedes' IJe- 

 stemmelse af Snit i Kegler Inldkoninien overensstemmende Maade ved Hjælp al' l'oteiis- 

 sætn ingen. 



Fremstiller nemlig Fig. 71 den paa det 

 Snit, som skal undersøges, vinkelrette .\leridian, 

 og vViVj Snittets Projektion paa denne, vil den i 

 Punktet F oprejste Ordinat >/ til Sniltet, naar man 

 derigjennem lægger et paa Omdrejningsaxen vin- 

 kelret Snit, der er projiceret i MM^, bestemmes 



ved 



rj2 = MP. PM, = x.NP. PN^ , 



hvor X er den konstante Værdi , som Forholdet 



MP PM 



\r p py^ '^''^'' 'følge Potenssætningen. Heraf følger, al Snittet er en Ellipse. 



Da X nu ikke blot, paa Grund af at Linierne l/ÆTj ere indbyrdes parallele, bliver 

 uforandret, naar P gjennemløber den faste Linie NA\, men ogsaa naar iV/Vj bevæger 

 sig parallelt med sig selv, er hermed tillige godtgjort, at de parallele elliptiske Snit ere 

 indbyrdes ligedannede, idet Forholdet x mellem deres Axers Kvadrater bliver uforandret. 



Angaaende den her gjorte Brug af Potenssætningen skulle vi bemærke, at den stemmer 

 med den Udstrækning, hvori denne Sætning kan have været opstillet, før ApoUonios indforte 

 den regelmæssige lîrug af sammenhørende Hyperbelgrene. De elliptiske Snits Spor paa de 

 derpaa vinkelrette Meridianplaner, saa vel som de cirkulære Snits Spor, ville nemlig for Hy- 

 perboloidernes Vedkommende skjære selve den som Meridiankurve benyttede Hyperbelgren. 



Til Bestemmelsen af de elliptiske Snit slutter sig Archimedes' Bestemmelse af en 

 Tangentplan til en af Fladerne som en saadan, der i en Tangent til en Meridiankurve staar 

 vinkelret paa Meridianplanen. Archimedes benytter nemlig den Omstændighed, at Planen, 

 hvis den havde flere Punkter fælles med Fladen, maatte skjære den i en Ellipse. Hans Bevis- 

 førelse afviger saaledcs ikke meget fra den, der kunde grundes paa, at de nævnte Planer 

 skjære Fladen i en Ellipse, som svinder ind til et Punkt. Han støtter sig dog tillige paa 

 nogle Sætninger, som der ikke er nogen Grund til al dvæle ved, og som handle om, hvilke 

 Stykker af skjærende Linier der falde paa Fladernes indvendige og udvendige Side. Af 

 Tangentplanens Bestemmelse udleder han, at den Linie i en Ellipsoidc, som forbinder 

 parallele Tangentplaners Røringspunkter, er en Diameter (15 — 17). 



Foruden den almindelige Bestemmelse at de elliptiske Snit angiver Archimedes endnu 

 Bestemmelsen af visse særegne Snit. Skjønt de derhen hørende Sætninger |i 1I| gaa forud 

 forde andre og ore benyttede i 15 — 17, omtale vi dem dog tilsidst, fordi Archimedes anser 

 dem for tilstrækkelig simple til, at han kan undlade at bevise dem, medens vi kun ved 



Vidensk. ."^ielsk. Skr. 6. R.Tkkc, naturvidonsk. og matliom. Afd. 111. 1. 3/4 



