266 



Beviserne for hans efterfølgende Sætninger i<unue danne os nogen paaiidelig Mening om, 

 hvorledes han vil have dem bevist. 



Disse ubeviste Sætninger gaa ud paa, at I) plane Snit parallele med Axen i en Para- 

 boloide ere Parabler kongruente med Meridiankurven; 2) plane Snit parallele med Axen i en 

 Hyperboloide ere Hyperbler ligedannede med Meridiankurven; 3) plane Snit gjennem Centret 

 i en Hyperboloide ere Hyperbler; 1) plane Snit parallele med Axen i en Ellipsoïde ere 

 Ellipser ligedannede med Meridiankurven. 



Naar Archimedes ikke har anført noget Bevis for disse Sætninger, kan man først og 

 fremmest slutte, at det ikke er ved noget særligt Kunstgreb, han vil have dem bevist. 

 Hans Bevisførelse har derfor sikkert i alt væsentligt været grundet paa de samme Principer, 

 som hans tidligere Bestemmelser af Snit i Kegleflader og den efterfølgende, men af os alt 

 omtalte. Bestemmelse af de elliptiske Snit i Omdrejningsfladerne. Naar der ved denne 

 sidste gjøres Brug af Potenssætniugen, saa er dette et Middel, som kun har staaet til 

 Raadighed for dem, der ere komne lidt videre i Keglesnitslæren, og hvorom Archimedes 

 derfor anser det for nødvendigt at minde forud for Anvendelsen [i 3]. Naar nu Archimedes, 

 forud for den herpaa grundede almindelige Undersøgelse af de elliptiske Snit, betragter 

 den heri specielt indbefattede Sætning om Snit parallele med Ellipsoidens Omdrejningsaxe 

 som særlig let at veriQcere, maa Grunden være den, at det specielle Tilfælde af Potens- 

 sætningen, som her skal benyttes, blot er selve Ellipsens Axeligning eller en simpel Om- 

 skrivning deraf. For at bevise de to foregaaende Sætninger ved Potenssætningen maatte 

 han have kjendt den almindelige Skikkelse, som først Apollonios gav den; men ogsaa 

 her er det ikke selve Potenssætningen, for hvilken der er Brug, men særlige Former af 

 og Grænsetilfælde for denne,' som vare vel bekjendte. De Beviser, som Archimedes virkelig 

 har gjennemført, give saaledes tilstrækkelig Oplysning om, hvorledes han kan have tænkt sig, 

 at hans Læsere skulde verificere de Paastande, som han anfører uden Bevis. Vi komme 

 derved til de følgende Bevisførelser for disse. 



I) Lad Fig. 71 fremstille en Meridiankurve i en Paraboloide, med Axen AC, og 

 lad LP være Projektionen af et paa Meridianplanen vinkelret Snit parallelt med Axen. Er 

 F et vilkaarligt Punkt af dette Snits Spor, og er MPM^ vinkelret paa Axen, bliver Ordi- 

 naten y til de i P projicerede Punkter af Snittet som før bestemt ved y- = MP.PM^. 

 For videre at omskrive dette Udtryk ville vi kalde Koordinaterne til Parabelpunkterne M og 

 X, henførte til Parablens Axe og Toppunkt, z, æ og z\ æ'. Man faar da ,y- = .r.'^ — x''^. 

 Kaldes Parablens Parameter p, er endvidere 



A'2 æ'- y~ y^ 



pz pz' p (z — z'] p.LP 



som viser Rigtigheden af den opstillede Paastand. 



