267 



2) Er l'lack'ii en llypcrholoide , skulle vi i duKe IJevis hlul oiiihytli; l'arableiis Lig- 

 ning mud Meridianhyperblens. Naar « betegner Længden uf den første Axe og / en Kon- 

 stant ( j- ) , l'aa vi da 



z[z-^a] z'{z' + a) [z — z') (z -\- z' + a) (z — z-)(z — z" + a + 2z'] 



som, idet z' er konstant, viser, at Snittet bliver en Hyperbel; den er ligedannet med Meri- 

 dianhyperblen, idet X er den samme. Den fjerde Sætning bevises ganske paa samme Maade. 

 3) 1 Beviset for, at Snit gjennem Centret i Hyperboloiden ere Hyperbler, vil det 

 være naturligt i vor Omskrivning af de gamles Ligning for Hyperblen at tænke os Begyn- 

 delsespunktet beliggende i Centrum. Idet vi for øvrigt bruge de samme Betegnelser, haves 

 for Punktet iV's Vedkommende 



.. = .(..--). 



Lade vi her x' betegne den til det samme Koordinatsystem henførte Ordinat til l'unktet F 

 af Snitplanens Spor, faas æ' = «æ, hvor a er en Konstant. Allsaa bliver 



y"- ^ x^' — x"^ = (x — a'')^'' — y.^^ 

 \ÛQ\. z er proportional med Punktet P's Abscisse paa Snittets Spor, og idet «- < z, udtrykkes 

 derved, at Snittet er en Hyperbel. 



De her fremstillede Beviser ere fremsatte saaledes, at Oversættelsen til de gamles 

 Fremstillingsform intet Sted vil være vanskelig. Videre Gjætninger angaaende Enkeltheder 

 i denne Form er der ingen Grund til, da Archimedes ved Ikke selv at opstille Beviserne 

 har undladt at give nogen enkelt Form Fortrinet. Vi skulle kun bemærke, at disse Beviser, 

 naar de skulde gjennemføres i de gamles Stil, tildels turde blive vidtløftigere end dem, 

 han fører for de almindeligere Sætninger om de elliptiske Snit, hvor han kan benytte 

 Potenssætningen. Dette kan maaske have været en medvirkende Grund for Archimedes 

 til ikke at medtage disse Beviser, under den Forudsætning at Vidtløftigheden af Verifika- 

 tionen af hans Paastande dog ikke har forekommet ham at hidrøre fra saglige Vanskelig- 

 heder. Saadanne kunne de simple Former for Keglesnittenes Ligninger og de Omformninger, 

 som her behøves, ikke have frembudt for Læsere, som paa den Tid i det hele vare hans 

 Arbejde voxne; men mærkeligere er det at se, at han ogsaa betragter de rumlige Opera- 

 tioner, der i Virkeligheden danne en analytisk Geometri med tre Dimensioner, som saa 

 selvfølgelige, at han kan overlade derpaa grundede Beviser til Læserne. 



Denne analytiske Geometri med tre Dimensioner, som .\rchimedes anvender 

 paa Undersøgelser baade af Snit i Kegler og af Snit i de tre Omdrejningsflader, er fuld- 

 kommen overensstemmende med den analytiske Geometri med to Dimensioner, som de 



31' 



