271 



riader disse Steder vare, maatle fremhæves, at de overhovedet er(! Mader. Naar dcHc i 

 Shitningen af Hjælpesætningen siges at »være bevist", Itan derved tænl<es paa lljadpesa't- 

 nlngens IJegyndelsesord, som i Virl<elighcdpn indetiolde et Bevis, eller paa at iMiklid ved 

 at bevise, at Stedet er en Keglellade, ogsaa har bevist, at det er en Flade. 



At Kuklid skulde have behandlet Keglefladerne i saa stor Almindelighed, som de 

 ad denne Vej blive fremstillede, naar Ordinaten CD skal kunne have en aldeles vilka.irlig 

 Retning, anser jeg dog ikke for rimeligt. Hvad der skræmmer mig herfra, er ikke just, al 

 saa allerede Euklid skulde have kjendt alle mulige Snit ogsaa i skjæve Kegler. Mine Jîe- 

 tænkeligheder komme derimod fra, at saa allerede Euklid skulde have kunnet bestemme de 

 cirkulære Snit i enhver Kegle med et Keglesnit til Ledelinie. Dertil vilde nemlig forst 

 kræves Bestemmelsen af dens Hovedsnil, som afhænge af en kubisk Ligning. Vel var man 

 efter min Mening allerede paa Euklids Tid godt inde paa Behandlingen af solide Opgaver 

 ved solide Steder; men den her berørte Opgave er af for stor Betydning, til at der i hele 

 Oldtidens Literatur ikke skulde findes Spor af den, naar allerede Euklid havde løst den. 

 Havde Euklid det, kunde Archimedes vist nok ogsaa have nøjedes med at henvise til ham 

 i Stedet for selv at beêtemme cirkulære Snit i det specielle Tilfælde, hvor allerede et Hoved- 

 snit er bekjendt. 



Vi komme saaledes ikke til fuld Klarhed om Hjælpesætningen og den Sætning 

 hos Euklid, som den har hørt til. Hvad vi have sagt om dens Beskaffenhed, bidrager 

 imidlertid i alle Tilfælde til at styrke den Formodning, at Euklids to Bøger om Forholds- 

 snittene blandt andet har indeholdt Undersøgelser om Steder, som blive Cylinderflader og 

 Kegleflader, og at disse ere blevne fremstillede og ved Benyttelse af Fremstillingen under- 

 søgte paa en saadan analytisk- stereometrisk Maade som hos Archimedes. Hjælpesætningen 

 bekræfter altsaa fuldkommen, at de Forudsætninger i Henseende til Opfattelse af en Methode 

 og særlige Forkundskaber, som Archimedes i Skriftet om Konoider og Sfæroider stiller til 

 sine Læsere, kunne have været at hente i Euklids Overfladesteder. Selve disse Forudsæt- 

 ninger, paa hvilke vi alt have peget hen, turde maaske derfor give den bedste Anvisning 

 paa Enkeltheder, som have været at unde i sidstnævnte Skrift. 



Naar man nu ad denne Vej er kommen paa Spor efter, at Euklid efter al Rime- 

 lighed i sit Skrift har beskjæftiget sig med Kegleflader opfattede som geometriske Steder, 

 føres man derved ogsaa til en Formodning om, hvortil Pappos' anden Hjælpesætning kan 

 have sigtet. Denne, som allerede er kommen os til megen Nytte ved vore Undersøgelser 

 om de gamles Kjendskab til Brændpunktegenskaberne, indeholder Keglesnittenes fuldstæn- 

 dige Bestemmelse som Steder for Punkter, hvis Afstande fra et givet Punkt (Brændpunkt) 

 og en given Linie (den tilsvarende I^edelinie) staa i givet Forhold. Have nu disse Steder 

 været fuldkommen bekjendte paa Euklids Tid, hvad netop bliver rimeligt ved, at Pappos 

 har fundet dot nødvendigt at lilfojc Bevis derfor, har den Opgave ligget nær al bestemme 



