272 



Stedet für Punkter, hvis Afstande fra en given ret Linie og en given Plan 

 staa i givne Forhold. 



Vi kunne fuldstændig angive, hvorledes Euklid kan have løst denne Opgave, hvis 

 han virkelig er falden paa at stille sig den. Ved Hjælpesætningen bestemmes Stedet nemlig 

 som (det, vi kalde) en Kegleflade, der til Toppunkt har Skjæringspunktet mellem den 

 givne Linie og den givne Plan, og som indeholder et Keglesnit beliggende i en Plan vinkel- 

 ret paa den givne Linie og med Brændpunkt i den givne Linies Spor. At denne Kegle- 

 flade virkelig ogsaa er, hvad de gamle forstode ved en saadan , har maattet bevises ved 

 Bestemmelse af de cirkulære Snit. Idet Keglens Toppunkt ligger lodret over Brændpunktet, 

 har denne Bestemmelse kunnet foretages omtrent som hos Archimedes, uden at dog denne, 

 der ogsaa skulde tage Hensyn til de Tilfælde, hvor de cirkulære Snit ikke staa vinkel- 

 ret paa det umiddelbart givne Hovedsnit, kunde nøjes med en Henvisning til Euklid. 

 Den ene Række cirkulære Snit — og det har været tilstrækkeligt at finde én saadan — 

 blive som bekjendt parallele med den givne Plan. Hvis Euklid direkte har bevist dette 

 sidste og ad denne Vej bestemt Stedet i Hummet, kan Hjælpesætningen dog være anført 

 i Anledning af delte geometriske Sted eller af en dertil knyttet Bemærkning af Euklid. 



Den udvidelse af de i Pappos' anden Hjælpesætning bestemte geometriske Steder 

 til Rummet, som ligger nærmest, er dog Bestemmelsen af det geometriske Sted for Punkter 

 hvis Afstande fra et givet Punkt og en given Plan staa i et givet Forhold. Den fører til 

 de Omdrejningsflader af anden Orden, som have Brændpunkt, eller netop til dem, som 

 Archimedes undersøger under Navn af Konoider og Sfæroider. Det er tillige bekjendt, at 

 denne Bestemmelsesmaade afgiver et frugtbart Middel til Fremstilling af disse Fladers 

 Egenskaber. 



Der har derfor været god Grund for Chasles til at opstille den Formodning, 

 at Euklids Skrift om Overfladesteder har handlet om disse Ire Flader, og denne Formod- 

 ning vilde vist nok ogsaa jeg have givet Fortrinet for den, som er fastholdt i det fore- 

 gaaende, hvis man alene havde havt Euklids anden Hjælpesætning at holde sig til. Hvis 

 det skulde være med Urette, at jeg med Tannery har faaet ud af den første Hjælpesætning, 

 at Punkterne A og B (Fig. 72) skulle bevæge sig paa rette Linier, vilde heller ikke den 

 første Hjælpesætning pege mere hen paa Kegleflader end paa hvilke som helst Flader af 

 anden Orden. Hvad der taler stærkt imod Chasles" Anskuelse, er derimod, som bemærket 

 af de fleste Forfattere, der senere have behandlet dette Spørgsmaal, en Omstændighed, som 

 han selv anfører til Gunst for denne, nemlig Archimedes' Behandling af de samme tre Flader. 

 Den hele Maade, hvorpaa Archimedes indfører disse Flader, Angivelsen af deres Navne og 

 tilhørende Definitioner, tyder nemlig paa, at han fører noget nyt frem. At han retter sine 

 Undersøgelser paa noget specielt, nemlig de af disse Flader og Planer begrænsede Volu- 

 miner, kunde vel lyde paa, at de forud maatle være undersøgte i andre Retninger; 



