274 



Oldtiden er gaaet videre paa den af Archimedes betraadte Bane. Der foreligger aldeles 

 ingen Midler til at afgjøre, om Forfaldstiden er indtraadt, inden nogen anden Forsker har 

 set, at her var aabnet et Felt, hvor man med Lethed kunde høste nye og rige Frugter, 

 eller om saadanne Arbejder maaske ere fremkomne, men gaaede tabt, fordi de laa for højt 

 for de Mænd i den senere Oldtid, hvem vi skylde de levnede Skrifter og Oplysninger om 

 tabte Skrifter fra den gamle Tid. I sidste Fald er det maaske væsentlig Archimedes' ansete 

 Navn, som har bevaret Skriftet om Konoider og Sfæroider fra Undergang. 



Tyvende Afsnit. 

 Archimedes' Bestemmelser af Arealer, Rumfang og Tyngdepunkter. 



Det er ikke vor Hensigt her at gjøre Rede for, hvad man kunde kalde de antike 

 Integrationsprinciper, hvilke af Eudoxos og Euklid ere anvendte paa enkelte 

 Opgaver, og af Archimedes ere anvendte med saa megen Konsekvens og paa saa mange 

 forskjelligartede Opgaver, at han vilde være Integralregningens Grundlægger, hvis man havde 

 bygget videre paa den af ham lagte Grundvold, i Stedet for, da henved to Aartusender vare 

 gaaede, paa ny at lægge Grunden under noget andre Former. Redegjørelse herfor tilhører 

 andre Arbejder og er heller ikke forsømt af Nutidens Forfattere af Indledninger til Inte- 

 gralregningen. I den nærværende Sammenhæng er det nok at minde om , at de gamle 

 foretoge deres Areal- og Volumenberegninger ved en Dekomposition i Dele, der kunde 

 være saa smaa, som man vilde, hvorved kunde opnaas, at Afvigelsen fra Summen af saa- 

 danne Dele, som lettere kunde summeres — eller rettere den indbyrdes Afvigelse mellem 

 Grænser, hvorimellem den søgte Sum falder — blev mindre end en hvilken som helst 

 Størrelse. At den søgte Størrelse da nøjagtig fik den Værdi, som beregnedes ved denne 

 Substitution af andre Dele, bevistes dernæst ved Exhaustionsbeviset. 



Denne Fremgangsmaade er ganske den samme som den, man i Nutiden kalder 

 en Deling i og Summation af uendelig smaa Dele, i alt Fald, naar Begrebet uendelig 

 lille defineres som f. Ex. i Duhamel's Éléments de calcul infinitésimal. Den er saaledes i 

 Virkeligheden en Integration. Afvigelsen bestaar kun i, at Begrebet uendelig lille ikke 

 udtrykkelig opstilles og behandles i al Almindelighed for derefter umiddelbart at finde 

 Anvendelse paa alle de enkelte Tilfælde, men at man i Stedet derfor i hvert enkelt Tilfælde 

 paa ny anvender de selv samme Operationer, som nu afgjøres én Gang for alle. Naar 

 Antallet af saadanne Tilfælde bliver saa stort som hos Archimedes, kan det imidlertid 



