275 



ikke betvivles, at han liilclt havde lîlik for det ensartede i den Methode, han saa ofte 

 anvendte. Efter (ioiine ['orklaring kunne vi derfor sige, at Archimedes, paa den formelle 

 Opstilling i et Tegnsprog iiær, kjcndte og anvendte Udirykket 



i" 



aykdæ (1) 



for et Areal, i hvilket der paa den til Abscissen æ svarende Ordinat afskjæres Korden k, 



medens a og b ere Grænseværdierne for x, og « en Konstant, der afhænger af Vinklen 



mellem Abscisser og Ordinater'), samt Udtrykket 



„à 

 Adæ (2) 



4 



for et Volumen, i hvilket der paa den ved en vis Værdi af a; bestemte Plan afskjæres 

 Arealet A. For Sammenhængens Skyld skulle vi endnu tilføje, at Archimedes i Skriftet 

 om Spiralerne anvender Arealbestemmelsen i polære Koordinater 



2 A dr 



^\r'-^dr, (3) 



^ de 



paa de nævnte Kurver, for hvis Vedkommende dog — = t— er konstant-). Den vigtigste 



r dr 



af alle hans Integrationer, Beregningen af Kugleoverfladen, ligger os her fjernere. 



Det Bevis for, at Pyramider med samme Højde c forholde sig som Grundfladerne 

 Ö, som findes hos Euklid [XII, 5] og rimeligvis skyldes Eudoxos^), og som er bevaret 

 i de fleste af vore elementære Lærebøger, kan betragtes som en, i alle sine Enkeltheder 

 særlig begrundet. Anvendelse af Formlen (2), idet den Sætning, at parallele Snit forholde 

 sig som Kvadraterne paa Afstandene fra Toppunktet, giver 



SAdx = \—-Gdai ^ G . -^\ x- dx , 



'O "o 



hvor sidste Faktor kun afhænger af c. Naar man dernæst ved at tage andre stereometriske 



') Det maa erindres, at de gamle ikke angive Arealernes eller Voluminernes Forhold til en lorud 

 antagen Enlied, men kun bestemme deres indbyrdes Forhold eller udvikle homogene Ligninger 

 mellem dem. I vor Omskrivning maa vi da, naar Koordinaterne ikke ere retvinklede, tilfoje en 

 Faktor a, som ikke direkte indgaar i de gamles Bestemmelser, da den er fælles for de Størrelser, 

 hvis Forhold findes. 



') Faktoren j fremtræder lige saa lidt som a i (1) og (2) hos Archimedes, idet han bestemmer Arealels 

 Forhold til en Cirkel. 



') Se Archimedes ed. Heiberg I, S. 4. 



35' 



