276 



Midler til Iljælp liur fundet, al l'yrarniden (!r Trediedelen af el Prisme med samme Højde 

 og Cirundflade, kan deraf aller skilles, al 



•'o 

 Paa samme Maadu kunde man af Bestemmelsen af Trekantens Areal udlede 



ædx = Ic^ . (5) 



o 



En saadan Fremgangsmaade finde vi virkelig anvendt for det første Integrals Ved- 

 kommende i det elegante Bevis for Archimedes' Bestemmelse af Arealet af den første 

 Spire i en Spiral, som Pappos anfører i 4de BogM- En lignende Brug gjør Archimedes 

 ogsaa selv af el forud ad anden Vej fundet konkret Resultat — nemlig Beliggenheden af en 

 Trekants Tyngdepunkt — i den neden for meddelte, første Bestemmelse af Arealet af et 

 Parabelsegmenl. Udtrykkene for de lo anførte Integraler finder han derimod ad alge- 

 braisk Vej. 



Det sidste (5) begrundes ved følgende Uligheder 



A+2Ä+ 3/H- . . .wA>^A>/«+ 2A-L3/i+ . . . (?i— l)Ä, (5b) 



som Archimedes i Indledningen til Skriftet om Konoider og Sfæroider-) opstiller med den 

 Bemærkning, at Beviset er let. Rigtigheden deraf følger af Udtrykkene for Summerne af 

 de to Rækker, hvilke det andetsteds viser sig, al Archimedes kjender"). 

 integrationen (4) begrundes paa lignende Maade ved Ulighederne 



Ä« + [21ir- + (3Ä)- + . . . [nhf > 'f Ä- > '«' + (2Ä)' + (3A)ä + . • . {[n -\) hy . (4 b) 



Disse opstilles i et KoroUar til Sætning 10 i Skriftet om Spiralerne, hvor del er bevist, at 



3 [A2+(2/i)-'^-f(3A)-+ . . .(nh}^ = (w -f 1) (n/i)'^ + Ä (A + 2A + 3A + . . .nh). 

 For heraf at faa den sidste Ulighed'') (4b), maa det blot erindres, at ifølge den sidste af 

 de forud anførte Uligheder (ob) er 



/i (/i _^_ 2 A + 3 A + . . . nh) < ' ■^' < 2«2 h^ . 



Al Archimedes kan bruge disse Uligheder paa samme Maade som vi Inlegrationsudtrykkene, 

 forstaas ved i Ulighederne at sætte h = dx, nh^c. At de virkelig komme ham til Gode paa 



') Hultsch' Udgave S. 236. 



'] Heibergs Udgave I, S. 290. 



'] Figurerne til Sætningerne 10 og 11 i Skriftet om Spiralerne robe, al man har bevist Formlen paa 



samme Maade, som det nu gjøres. 

 ^) Grunden til, at Archimedes ikke trækker det sidste Led i Summationsformlen sammen, uagtet han 



kjender Summen af en DilTerensrække, er, al han kun tilsigter Udviklingen af den Ulighed, som han 



har videre Brug for. 



