277 



sarnniu Maade som almindelige Integrall'ormler os, viser sig I dcii gjciilagiie Jtriiu, lian gjor 

 af dem i t'orskjcllige Undersøgelser, navnlig af (i) baade i Skriftet om Spiralerne og ved 

 forskjcilige af de til Keglesnitslæren hørende Integrationer, som vi nu skulle undersøge. 



Den simpleste Anvendelse, som Archimedes gjør af Arealformien (1), er IJestem- 

 mcisen af Ellipsens Areal. Han konstruerer en Cirkel over den ene Axe a som Diameter. 

 Vi ville antage, at Abscisserne x regnes paa denne, og at Cirklen afskjærer Korden /c, 

 paa den Perpendikulær paa denne Axe, hvorpaa Ellipsen afskjærer k. Naar da b er d(în 

 anden Axe, l'aas [Om Konoider og Sfæroider 4| for alle Værdier af *• 



a 



k_ 



kdæ 

 Åj dx 



r 



\ kdx 



_A) 



Sa 

 fcj da 

 -n 



Ellipsen 

 Cirklen 



I de følgende Sætninger [5 — 6J udledes heraf Udtryk for Forholdet mellem Arealerne 

 af en Ellipse og en vilkaarlig Cirkel, eller mellem lo Ellipser, særlig den Sætning, at lige- 

 dannede Ellipser forholde sig som Kvadraterne paa de store eller de smaa Axer. Det er 

 klart, at Archimedes lige saa let kunde have bestemt et Segment, begrænset af en Korde 

 vinkelret paa en Axe eller, ved Brug af skjævvinklede Koordinater, et Segment begrænset 

 af en vilkaarlig Korde. Tanken herpaa kan heller ikke have ligget ham fjern, da han 

 foretager de tilsvarende Bestemmelser for Ellipsoidcns Vedkommende, men Arealbestemmelsen 

 er kun en Hjælpeundersøgelse, og deraf medtager han som sædvanlig kun, hvad han har 

 Brug for. 



Archimedes' anden Anvendelse af den 

 samme Formel har til Gjenstand Bestemmelsen 

 af et Parabelsegments Areal. Den dertil sigtende 

 Omdannelse af Parablens Ligning have vi allerede 

 havt Lejlighed til at omtale i andet Afsnit. Det 

 blev der godtgjort, at naar (Fig. Il) en Korde 

 AC = a til en Parabel tages til Abscisse- 

 axe, dens Endepunkt A til Begyndelsespunkt, 

 medens Ordinaterne ere parallele med Kordens 



Diameter BD, bliver Forholdet — mellem Ordi- 

 nater til Parablen og til dens Tangent i C, der 

 svare til samme Abscisse .r, lige stort med — 

 Delte anvendes til Transformationen 



Sa na 



ydæ =^ \ y-^ædæ 



Kis. 11. 



