278 



Denne Ligning udirykker Archimedes ved at sige, at Segmentets Areal, anbragt paa 



Enden af en Vægtstangsarm. hvis Længde er Punktet C"s vinkelrette Afstand fra Linien 

 AG, vil holde Ligevægt mod Trekanten AG C anbragt saaledes under den anden \'ægtstangs- 

 arm, at .4 ligger i Hvilepunktet, og at Tyngden virker parallelt med AG. De til samme 

 Værdi af x svarende Elementer ville nemlig da holde hinanden i Ligevægt. Idet nu 

 Trekantens Tyngdepunkts Afstand fra AG er a af C's Afstand, bliver Parabelsegmentet 

 ^AAGC = iZ^ABC. 



'Su har Archimedes, som angivet i Slutningen at -ide Afsnit iS. 72i. bevist [Sætning 3 

 om lîonoider og Sfæroider] . at i samme Parabel Arealerne af saadanne indskrevne Tre- 

 kanter som ABC ere lige store, naar de afskaarne Diameterstykker BD ere det. Det er 

 da derved, som han sammesteds bemærker, ogsaa godtgjort, at Segmenter af samme Parabel 

 ere lige store, naar de deri indeholdte Stykker af Diametrene til de begrænsende Korder 

 ere det. 



Efter — som ban selv siger — først at have fundet Parablens Areal ad denne 

 indirekte \'ej. hvor der gjores Brug af en forud gaaende Bestemmelse af Trekantens Tyngde- 

 punkt, har han senere fort et direkte geometrisk Bevis for det fundne Resultat. Da delte 

 Bevis ikke bestaar i en Integration . skulle vi opsætte det til efter Volumenbestemmelserne, 

 og her kun bemærke, at Archimedes intetsteds har anvendt den Integration, som man 

 vilde støde paa ved Deling af Parabelsegmentet ved Korder parallele med Grundlinien AC. 

 Denne vilde føre til Integralet \]'æda:. som han altsaa i den beskrevne Fremgangsmaade 

 undgaar ved at lade Delingslinierne være parallele med Diameteren. 



I Bestemmelserne af Rumfang af de Segmenter, som ved en Plan. Grundfladen, 

 afskjæres af Omdrejningsflader af anden Orden, benytter Archimedes derimod den til Deling 

 af et plant Segment ved Korder parallele med Grundlinien svarende Deling ved Planer 

 parallele med Grundfladen. Som Archimedes selv [19 — 22] skulle vi begynde med Para- 

 boloiden. men medens Archimedes begynder med at afskjære Segmentet ved et Snit 

 vinkelret paa Axen. skulle vi. her og ved de øvrige Flader, stras gaa over til hans Benyt- 

 telse af et vilkaarligt Snit (som det. der i Fig. 73 bar AC til Projektion paa den derpaa vinkel- 

 rette Meridianplan I. Arealet af den derpaa afskaarne Elhpse kalde vi G, det Stykke BG, 

 som afskjæres paa Diameteren til dens Centrum, c, og paa den samme Diameter regnes 

 Abscisserne x fra Skjæringspuuktet B med Fladen som Begyndelsespunkt. Paraboloideseg- 

 mentets Forhold bestemmes til en Cylinder med Grundfladen G, som afskjæres mellem 

 denne og den dermed parallele Tangentplan til Paraboloiden. Man faar da ved (2) og (5), 

 idet u og q (= GC) betegne de Halvaxer i det ved æ bestemte Snit og Grundfladen, som 

 falde i den paa G vinkelrette Meridianplan i Paraboloiden, 



