282 



alniiudelige Intesrationsformler bestræber han sig dernæst for al føre de forlangte [vubalurer 

 tilbage til de faa, som her ere anførte. Dette lykkes ham paa de fremstillede Maader, idet 

 den ikke forud beviste Formel (7i i de Tilfælde, hvor (f\x\ er konstant, bliver simpel nok 

 til at drage Beviserne for dens Brug ind i de enkelte Beviser. 



I Overensstemmelse hermed slaar det. at Archimedes i Skriftet om Spiralerne ikke 



opstiller \ = \ — \ som almindeligt Princip, men nøjes med, efter at have fundet \x-d.r 



•a '(i 'O ''o 



f 



[i 10], særlig at beregne \x'- dx [11]. 



Vi skulle ikke dvæle ved de Former, hvori Archimedes lader de fundne Kesullater 

 fremtræde, men kun minde om. at han dertil knytter nogle Opgaver, som han sandsynligvis 

 selv har løst, og hvorfra vi derfor have kunnet hente Exempler paa solide Opgaver, som 

 de gamle have behandlet. 



Vi vende os nu til den bekjendte Bestemmelse af Arealet af et Parabelsegment, som 

 Archimedes selv har kaldt den geometriske [Parablens Kvadratur 18 — 24], og til hvilken 



han har knyttet sin Bestemmelse af dens 

 Tyngdepunkt. 1 Segmentet ABC (Fig. 75) 

 indskrives som før Trekant ABC, hvis 

 Toppunkt B er beliggende paa Diameteren 

 BD til Korden AC. I de afskaarne Seg- 

 menter indskrives-Trekanter AEB og BF C 

 af samme Beskaffenhed; EG og F H ere de 

 tilsvarende Diaraeterstykker. Det ses nu, idet 

 D A^ 21E, hvor IE er den til Diameteren 

 BD horende Ordinat til E, at BI=\BD, 

 altsaa EG = 1D — \BD = \BD. Ligesaa bliver FH = {BD, hvoraf alter følger, at 



AAEB + Ù.BFC = \AABC. 



Indskriver man nu atter i hvert af de fire Segmenter AE, EB. BF og FC en Trekant 

 af samme Beskaffenhed, bliver hver af dem ^ af hver af de foregaaende, deres Sum altsaa 

 (\\- /\ ABC. Fortsætter man paa denne Maade, vil hver Gang Summen af nye Trekanter 

 blive Fjerdedelen af de umiddelbart forud benyttede. Altsaa bliver 



1 1 



Segmentet = ( 1 -^ v ~ T5" 



ABC = ^AABC. 



Det behover næppe at bemærkes, at Archimedes ved Anvendelse af højere Grænser fører 

 et exakt Bevis lor. al Rækken konvergerer til begge de Værdier, hvis Ligestorhed faas ad 

 denne Vej. 



