29t) 



man paa den ene Side kunde hæve sig saa højt i Henseende til den direkte Behandling af 

 kvadratiske Ligninger og af Læren om Keglesnit og den dertil knyttede Behandling af Lig- 

 ninger af tredie og fjerde Grad el er dog af Opgaver, som afhænge af disse, medens paa 

 den anden Side alle de Undersøgelser, der gik ud herover, hvor fortjenstligc de end enkeltvis 

 kunde være, ganske savnede den Almindelighed og Fuldstændighed, som vi have fundet i 

 Keglesnitslæren. 



Vi kunne imidlertid ikke blive staaende ved, at denne Begrænsning nu en Gang 

 var der, og at der ikke var synderlig udsigt til, at den skulde blive overskreden, eft erat 

 Forfaldstiden en Gang var indtraadt. Der maa positive Grunde til at forklare, at den ikke 

 allerede blev overskreden i Blomstringî'iden enten ved Dannelsen af et om end rudimentært 

 Tegnsprog eller muligvis paa anden Maade. Et Tegnsprog er nemlig ikke noget, som 

 bliver til ved en pludselig, genial Ide, og altsaa vedbliver at savnes, naar denne ikke af sig 

 selv indflnder sig hos en eller anden. Det vil, idet det begynder med Abbreviationer, 

 indfinde sig, naar Trangen er tilstede, og at det heller ikke var fremmed for græsk Tanke- 

 gang, se vi hos Diofantos. Nn skulde man tro, at denne Trang let maatte faa Anledning 

 til at gjøre sig gjældende i den Tid, da Geometrien udviklede sig med saa stor Kraft. Vel 

 kunde de nye Ideer, som bragtes ind paa det Omraade, som den græske Algebra kunde 

 magte, give Mathematikerne nok at bestille; men der er dog en saadan Sammenhæng 

 mellem de mathematiske Opgaver, at Færden paa ét Omraade stadig fører Tanken ind paa 

 andre. Hvor ofte vil saaledes en Opgave, som en Geometer har forsøgt at løse som en 

 solid Opgave, have vist sig at kræve Brug af en Kurve af højere Orden. Denne har man saa 

 mangen Gang bestemt i det enkelte Tilfælde. Indtrædelsen af flere saadanne har da inde- 

 holdt en Opfordring til at søge saadanne fælles Fremstillingsmidler for disse lineære Steder 

 som dem, man havde for Keglesnittene. Opfordringen til Algebraens udvidelse maatte ogsaa 

 frembyde sig i mangfoldige andre Skikkelser. 



For at forstaa, hvorfor Algebraen dog ikke fik nogen saadan udvidelse, maa man 

 huske paa, hvad det var Grækerne i theoretisk Henseende vandt ved at knytte Algebraen 

 til en geometrisk Fremstilling og til Proportionslæren. I første Afsnit have vi omtalt, at 

 man ikke gav Slip paa den arithmetiske Betydning af el Produkt af to Tal ved at frem- 

 stille det ved et Areal. Naar Siderne i et Rektangel a og b staa i et rationalt Forhold, 

 benyttedes Rektanglet netop til at fremstille Produktet af de Tal, der fremstille deres For- 

 hold til et fælles iMaal. Naar derimod a og ù ere inkommensurable, existerer der efter den 

 græske Opfattelse lige saa lidt saadanne Tal som noget Produkt. Rektanglet er da ikke 

 et Produkt for Grækerne, men træder i Stedet for og gjør samme Nytte som det, vi 

 kalde Produktet af to irrationale Tal. Ved den geometriske Fremstilling kunde man altsaa 

 nyde de Fordele, som denne udvidelse af Begrebet Produkt yder den nyere Tids Mathe- 

 matikere, uden al man behøvede at indiore delte IJegreb, hvis Definition vilde volde Vanske- 



