Wang — The Differentiation of Quaternion Functions. 75 



Divide by Vq, and hence all powers of r and qJHq and Vq ; therefore 



FQ:Vq = F{Q:Vq); 



thus f\ V{r" . dr) : Vq) = F,{ Vdq : Vq) ; 



and mS\V{r" .dr) : Vq) = nS{Vdq : F^), 



and i^, V\ V (r" . (ir) : Vq) = F,V(Vdq : Vq). 



The two operands of the last equation J. Axr and Axq, therefore 



,,-x^j.x ^ j7'j.-2-i;_ 2; and q'^vq''' = Uq--''. v, 

 thus the equation becomes 



(1 + C/"r-= + Wr-* +...+ Ur-""*') V \ V (r" . dr) : Vq) 



= (1 + t/(^-^ + Z7?-* + . . . + Uq-"'") V(Vdq: Vq), 

 1 - Uo'"' 



or T^t/y-"^ F i V{r" . dr) : Vq] = i_ Uq'^'i V I V {r" " . dr) : Vq 



1- Uq- 



1 - C/5-^ 



V(Vdq:Vq), 



' --1 ^ l-?7g 



F I F (r" . dr) : Vq\ = ^^ _ ^^., F ( F^^ : F?). 

 But 1 - Uq-''' = Uq-^{Uq^ - Uq'^) = 2 C/"?-^ V . Uq"' = 2q-^ V.q""; 



n 



therefore V\r(r" . dr) : Vq) = q '" Vq V(Vdq : Vq). 



Then 



F (r" . dr) -.Vq = {S+V)\ V(r" . dr) : Vq 



n 



n -- + 1 F 0'" 



= ->S(F^?:F2)+y'" -^^- f^(f^^?:F?), 



n 



n in -»»+! F. q"'\ 



-^""''^■■''^-[-^^^ ~'4-)v[Vdq:Vq); 



n 

 m n — 



V[r" .dry I Vdq. {-I . ?'^'"' ^^'-) V{Vdq : Vq) . Vq, 



n n 



' Vdq.[-Vq-q '" V. f F( Vdq : Vq) 



{:■ Vq 1 F( Vdq : Vq), so F( Vdq : Vq) . Vq =^ - Vq . V {Vdq : Vq) ) ; 



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