78 Proceedings of the Royal Irish Academy. 



(2.) Find the expressions of 

 a.Wq.Vq""), agim-Vg-'"), av.iS/q.Fg-'"), and argiVfl ■Vcf"), 

 where m is an integer. 



d(Sfq.Vq-'") 

 = Sifqdq) . r<r" - mSfq . Vq-'-Wclq - Sfq \mVq-"' + V{Vq-"')\ V{Vclq : Vq) ; 



thus aMq-Vq-") 



= alSif'qdq) . Vq-'"-m(j J Sfq . Vq-"-'. Vdq-al Sfq \ m Vq-"'+ V( Vq-'") } F( Vdq : Vg) - 



But Z> J ,S' {fq . dq) . Vq-'" = -f'q. Vq-"\ 



- ^naSSfq. Vq-"'-K Vdq = dmSfq . S{ Vq-"-') - mSfq . V( Vq-"-'), 



and - a j Sfq { m Vq-" + V{ Vg-") j F( Vdq : Vq) 



= -ai^(Vdq: Vq)Sfq . K { m Vq-" -t V{ Vq-") \ 



= 2 Vq-' . Sfq .K{ni Vq-" + V{ Vq-") \ 



= 2Sfq . Vq-' . {viS( Vq-") - (m + 1) F( Vq-")} 



= 2mSfq . V{ Vq-"-') - 2{m + l)Sfq . S{ Vg-"-'). 

 .-. I),(Sfg.Vq-"') 



= -fq. Vq-" + (m - 2)Sfq . S( Vq'"'-') + mSfq . V( Vq-"-) 

 = -fq. Vq-" + (Hi, - l)Sfq . Vq-"-' - Sfq . K .Vq-"-' 

 = -/'?■ Vq-"' + I m - 1 - ( UVq')""^' } Sfq . Vq-"- 

 = -fq- Vg'"' + {m-l + (- iy"\Sfq . Vq-"'-', 

 if vi is integer. 



d{ Vfq . Vg-") = V(f'gdq) . Vq-"' + {fq . Vq - Vfq) V{ Vdq : Vq) . Vq-" 



- m Vfq . Vq-"'-'. Vdq - Vfg [rnVq-" + V{ Vq-"')] V{ Vdq : Vq) ; 

 thus aA^fq-Vg-") 



= a / nf'qdq) . Vq"' + a J (/'? • Vq - Vfq) V( Vdq : Vq) . Vq-" 

 - maj Vfq.Vq-"'-'.Vd.q - a S Vfq [viVq-"' + V(Vq-'")] V(Vdg : Vg). 

 But a f Vif'gdg) . Vq-"' = - SSf'q . Vq-" + Vfq . Vg-"', 



a J (fq ■ n - Vfq) V{ Vdq : Vq) . Vq-" 



= aSV(Vdq: Vq) Kif'q . Vq - Vfg) . Vq-" 

 ^-2Vq-'. K{fq . Vq - Vfq) . Vg-'" 

 = - 2 ( Vfq . Vq - Sfq . Vq + Vfq) . Vg-"-' 



= - 2 Vfg . Vg-"' + 2Sfq . Vg-" -2 Vfq. S( Vg-"'-') -2 Vfg. V( F"^"-'), 

 - ina i Vfq . Vq-"'- . Vdq = 3m Vfg . F( Vg-"'-') - m Vfg . S( Vg-'"-'), 

 and - (T J Vfg { m Vg-" + F( Vq-") ) F( Vdg : Vq) 



= -al V(Vdq : Vq)K{mVfq.Vq-"'+ Vfq.V(Vq-")\ 

 = 2Vq-[{m+l)Vfq.V{ Vq-') -mVfq.S{ Vq-") \ 

 ^2{m+l)Vfq.S{Vq-"'-') - 2mVfq.V{Vq-"'-'). 



