Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt bei gegebener 
Begrenzung. 
Eine Abhandlung 
von 
Bernhard Riemann. 
Bearbeitet von 
K. Hattendorft. 
Den Gegenstand dieser Abhandlung bildet die Aufgabe, von allen 
Flächen, die sich durch eine im Raume gegebene Begrenzung legen las- 
sen, diejenige vom kleinsten Inhalt ausfindig zu machen. Diese Aufgabe 
ist nicht neu. Sie hat seit der Mitte des vorigen Jahrhunderts die Auf- 
merksamkeit der Mathematiker auf sich gezogen. Der erste, der sich 
mit ihr beschäftigt hat, ist Lagrange. In der Abhandlung, welche die 
Grundlage der heutigen Variationsrechnung bildet (Miscellanea Tauri- 
nensia T. II. 1761), leitet er die Differentialgleichung der Minimalfläche 
ab, nemlich 
Ek gg kk tg E 
Dabei sind rechtwinklige Coordinaten vorausgesetzt und 3 wird als 
Function der unabhängigen Variabeln x und y angesehen. p und o sind 
die ersten, r, $s, £ die zweiten partiellen Derivirten von z, nach æ und 
y genommen. Die Integration der partiellen Differentialgleichung ist 
Lagrange nicht gelungen. Er beschränkt sich auf die Bemerkung, 
dass die Gleichung erfüllt werde, wenn p = q = 0, folglich auch r = s 
=— t = Q ist, d. h. wenn die Fläche eine Ebene ist. Nach Lagrange 
hat Meusnier die Aufgabe behandelt in dem Mémoire sur la courbure 
des surfaces, welches 1776 in der Pariser Akademie verlesen und 1785 
publieirt worden ist. (Mémoires présentés par divers savans. T. 10.). 
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