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Meusnier hat zuerst bemerkt, dass die Differentialgleichung dieselbe 
ist wie für eine Fläche, die in jedem Punkte gleiche und entgegengesetzt 
gerichtete Hauptradien der Krümmung hat. Er gelangt zu einer parti- 
culären Lösung, der Gleichung der Schraubenfläche, indem er die par- 
tielle Differentialgleichung in die beiden einfacheren zerlegt 
g?r — pqs + pt = 0, 
rn, 
Eine andere particuläre Lösung erhält er durch Aufsuchung der 
Rotationsfläche vom kleinsten Inhalt. Er findet, dass diese Fläche durch 
Rotation einer Kettenlinie um eine auf ihrer convexen Seite gelegene ho- 
rizontale Axe entsteht. 
Die erste vollständige Integration der partiellen Differentialgleichung 
verdanken wir Monge. Gegen seine Lösung der Aufgabe (Mémoires 
de l'Académie. 1784, p. 144) lässt sich aber einwenden, dass unter dem 
Integralzeichen Functionen von mehreren Variabeln vorkommen, die der 
Bedingung der Integrabilität nicht Genüge leisten. Daher versuchte 
Legendre (Mémoires de lAcademie 1787. p. 309) auf einem andern 
Wege, die allgemeine Lösung zu ermitteln. Er gibt sie in den drei 
Gleichungen 
x = Ap" — 3AaB + BBP — 3BbW, 
y = — Zoch + (2a— 1) AB — B5b W + (2b — 1) Bw, 
z = — At 4 2Aaë — b 4 BE — 2B -p F. 
` Darin ist Y—a?—1i=4A, V—-b?—I—B gesetzt. ®$ ist eine 
willkürliche Function von o. %# eine willkürliche Function von b. Um 
die Gleichung der Fläche zu erlangen, hätte man a und b aus den drei 
Gleichungen zu eliminiren. Als Specialfälle werden die beiden schon 
von Meusnier gefundenen Flächen behandelt. 
Bei der Untersuchung der charakteristischen Linien fand Monge, 
dass jeder solchen Linie nicht zwei, sondern drei Gleichungen angehören, 
dass also die charakteristischen Linien sich auf Punkte reduciren (Appli- 
cations de l'analyse à la géométrie. Paris 1807. p. 187). Zu zwei an- 
dern wichtigen Eigenschaften der Fläche gelangte Dupin (Developpe- 
