ÜBER D. FLÄCHE V. KLEINSTEN INHALT BEI GEGEBENER BEGRENZUNG. 7 
der Begrenzung die Richtung der Normalen als bekannt vorausgesetzt 
wird. : 
Zu demselben Resultate gelangt Ossian Bonnet in seinem grossen 
Mémoire sur ľemploi d'un nouveau systeme de variables dans l'étude des 
propriétés des surfaces courbes (Liouville, Journal. Série 2. T. 5. 1860 
‘p. 153. Vgl. Comptes rendus 1853. T. 37. p. 531. — 1855. T. 40 
p. 1107. — 1856. T. 42. p. 532). Durch eine geschickte Wahl der un- 
abhängigen Variabeln stelit er die partielle Differentialgleichung sowie 
ihre allgemeine Lösung in sehr einfacher Form her. Nachdem einige 
Specialfälle kurz erwähnt sind, werden die Krümmungslinien, die asym- 
ptotischen Linien, die Linien des stärksten Abfalls, die geodätischen Li- 
nien untersucht. Dann concentrirt sich die Aufmerksamkeit auf die 
Frage nach der Minimalfläche, welche gewissen geometrischen Bedingun- 
gen Genüge leistet. Als solche Bedingungen treten auf, dass die Fläche 
durch Rotation oder durch schraubenförmige Bewegung einer Curve ent- 
stehen solle, dass sie eine windschiefe Fläche sei, dass ihre Krüm- 
mungslinien ebene Curven seien, und endlich dass die Fläche durch gege- 
bene Linien gehe. Diese letzte Aufgabe bezeichnet Ossian Bonnet 
als besonders schwierig. Er behandelt sie nur für einige specielle Fälle, 
von denen hier nur zwei in Betracht kommen, nemlich die Aufgabe 
Björlings und die Frage nach der Minimalfläche, die durch zwei sich 
kreuzende gerade Linien geht. | 
Diese letzte Frage ist auf einem andern Wege noch von Serret 
untersucht worden (Comptes rendus 1855. T. 40. p- 1078). Serret 
schafft aus Legendre’s Lösung dasImaginäre heraus und führt die ge- 
gebenen Grenzbedingungen ein. Die beiden willkürlichen Functionen 
der allgemeinen Lösung werden dadurch auf eine willkürliche perio- 
dische Function redueirt. Darin spricht sich eine scheinbare Unbestimmt- 
heit des Resultates aus, die schon von T&d&nat bemerkt ist und Ger: 
gonne zu Bedenken Anlass gegeben hat. Jene willkürliche Function 
lässt sich aber leicht dahin interpretiren, dass die durch die beiden ge- 
raden Linien gelegte Fläche, die der partiellen Differentialgleichung Ge- 
nüge leistet, ausserdem noch an Nebenbedingungen geknüpft sein kann. 
