12 BERNHARD RIEMANN, 
SG a ar“ 
p do do dp 
wofür zur Abkürzung geschrieben werden soll 
UI di dg). 
Denkt man sich f und g als unabhängige Variable eingeführt, so 
geht das Integral über in // df dg, und es lässt sich die Integration 
nach f oder nach g ausführen. Die wirkliche Einsetzung von f und g 
als unabhängigen Variabeln verursacht aber Schwierigkeiten oder wenig- 
stens weitläufige Unterscheidungen, wenn dieselbe Werthencombination 
von f und g in mehreren Punkten der Fläche oder in einer Linie vor- 
handen ist. Sie ist ganz unmöglich, wenn f und g complex sind. 
Es ist daher zweckmässig, zur Ausführung der Integration nach f 
oder g das Verfahren von Jacobi (Crelles Journal Bd. 27 p. 208) anzu- 
wenden, bei welchem p und o als unabhängige Variable beibehalten wer- 
den. Um in Beziehung auf f zu integriren, hat man die Functionalde- 
terminante in die Form zu bringen 
ua 09 
5 
‚und erhält zunächst Se d ar a -dq = 0, weil die Integration durch 
eine in sich zurücklaufende Linie erstreckt wird. Dagegen ist 
d 
F U 
ET 
dp 
in der Richtung der wachsenden p zu nehmen, d. h. von dem Minimal- 
punkte im Innern durch eine Curve (g) bis zur Begrenzung. Man er- 
dg 
hält Wes d zwar den Werth, den GE Ausdruck in der Begrenzung 
annimmt, daan det untern Grenze des er Oist. Folglich wird 
